第5章王健ppt校对5-3

5.3实对称矩阵的相似对角化,5.3.1向量的内积与施密特正交化方法5.3.2实对称矩阵的特征值与特征向量5.3.3实对称矩阵的相似对角化,5.3.1向量的内积与施密特正交化方法,在解析几何中知道，三维向量空间中的向量可定义数量积运算.设,是三维向量空间中互相垂直的单位向量,若,则与的数量积,向量的许多性质如长度、夹角、垂直关系都可由此来表示.受此启发，可以在n维向量空间中引入类似运算，并由此描述,向量之间的所谓“正交”关系.在本节中只限于在n维实向量空间上讨论.,定义5.3.1设,向量，令,是实n维向量空间中任二,称实数为向量与的内积.,向量的内积具有以下性质：,1.对称性=,3.恒正性，0当0时.,;,定义5.3.2若=0，称向量与正交.,易见向量的正交是三维空间中向量互相垂直关系的自然推广.由定义，零向量与任何向量正交.,定义5.3.3设是n维向量，称,为的长，记为|.若|=1，,称为单位向量.,易见|=0当且仅当为零向量.对任何0，有|0，且有,任给非零向量,称为的单位化公式.,定义5.3.4设1,2,s是一组非零向量.若其中任两个向量都是正交的，则称其为正交向量组.仅由一个非零向量组成的向量组也称为正交向量组.,若正交向量组中每个向量都是单位向量，则称其为标准正交组.,是R4中正交向量组，但不是标准正交组.因为,从而1,2,3都不是单位向量.把它们单位化，令,则1,2,3是标准正交组.,正交向量有下列性质.,定理5.3.1设1,2,m是Rn中的向量组，则,(1)若与1,2,m的每一个向量正交，则必与1,2,m的任一线性组合正交.,(2)若1,2,m是正交组，它们必线性无关.,证(1)若=0，i=1,2,m,设=k11+k22+kmm是1,2,m任一的线性组合，由内积的线性性，有,故与正交.,(2)设k11+k22+kmm=0,用1与其两边作内积运算，得,由于当j1时,=0.于是k1=0,因此k1=0.,用i替代1重复以上论证，可得ki=0，i=2,m，这就证明了1,2,m线性无关.证毕.,定理5.3.1表明，在Rn中正交向量组至多含有n个向量，这是因为在Rn中至多有n个线性无关的向量.,下面讨论，任给Rn中线性无关向量组,1,2,m(mn)，如何找到Rn中的标准正交组1,2,m，使每个i都是1,2,i,(i=1,2,m)的线性组合.这就是所谓的施密特(Schmidt)正交化方法.它的意义为，把任一组线性无关向量转化为标准正交向量组，而它们之间是等价的.,定理5.3.2(施密特正交化定理)设1,2,m(mn)是Rn中线性无关向量组，则必存在标准正交组1,2,m，使j可由1,2,j,(i=1,2,m)的线性表出。,由于1,2线性无关，故20，且=0,2是1，2的线性组合,从而是1,2的线性组合.这样1,2是正交向量组，且可由1,2线性表出.,证首先，令1=1，显然1可由1线性表出。令,一般地，若1，2，i已作成正交向量组且可由1,2,i,(i=1,2,m),线性表出，令,(5.3.1),则=0，j=1,2,i.这样1，2，i，i+1成为正交向量组，且i+1可由1，2，i，i+1线性表出.由于j，(j=1,2,i)皆可由1,2,i线性表出，故j+1可由1,2,i,i+1线性表示出.,继续上述过程直到i+1=m时，1，2，m就成为正交向量组.此时，只要再令,(5.3.2),则1,2,m成为标准正交组，且i可由1,2,i,(i=1,2,m)线性表出.证毕.,定理5.3.2的证明过程实际上就是标准正交化的具体实施过程.式(5.3.1)，(5.3.2),就是具体实行的计算公式.(5.3.1)式实行正交化，(5.3.2)式实行单位化.,例5.3.2设,是R4中的向量组，用施密,特正交化方法把它们化为标准正交组.,解:易验证1,2,3线性无关，从而可通过施密特正交化方法把其化为标准正交组.对于正交化：,令,再单位化，得,则，是1,2,3的标准正交组.,5.3.2实对称矩阵的特征值与特征向量,在第二章的2.2.3中已经知道了对称矩阵的概念.如果对称矩阵中的元素全为实数，则称为n阶实对称矩阵.单位矩阵、实对角形矩阵均为实对称矩阵的特殊情形.实对称矩阵的特征值与特征向量具有特别的性质.,定理5.3.3实对称矩阵的特征值全为实数.,证设实对称矩阵，它的共轭矩阵为，其中表示的共轭复数。设0是A的特征值，为0的特征向量，要证0=。,对A=0两边取共轭复数得,。,由于A是实对称的，故有,从而,又,故得,由于,0,由此,由于0是实数，且它的特征向量是(E-A)X=0的非零解，因此实对称矩阵的特征向量必然是实向量.,注意若A是一般的实矩阵而非对称的，则其特征值与特征向量完全可能是复数.,=0，固,是实数。证毕。,定理5.3.4设A是实对称矩阵，则属于A的不同特征值的特征向量必正交.,证设,是A的两个不同特征值,是分别属于,的特征向量，则有,对第一个等式两边转置并右乘,得,由于A=AT.又A=，代入上式两端，并移项得,由于，故T=0，即与正交.证毕.,定理5.3.4指出，实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量不仅是线性无关,的，而且是互相正交的.这为寻找实对称矩阵的正交特征向量组提供了可能.,5.3.3实对称矩阵的相似对角化,现在来讨论，实对称矩阵是否可相似于一个对角形矩阵。与此等价的问题是，n阶实对称矩阵是否有n个线性无关的特征向量?答案是肯定的。n阶实对称矩阵不仅有n个线性无关的特征向量，而且它还可以有n个相互正交的单位向量作为特征向量.下面来讨论这个问题。,定理5.3.5设A是n阶实对称矩阵，则必有n阶正交矩阵Q使,其中Q的列是A的n个相互正交的单位特征向量，1,2,n是A的全部实特征值.,证对A的阶数n，用数学归纳法来证明本定理.,n=1时，A本身就是对角阵，取正交矩阵Q为一阶单位阵E，即有,为对角阵.定理显然成立.,设对n-1阶的实对称方阵定理成立，现考虑n阶实对称方阵A，由定理5.3.3，A的特征值全为实数，故至少有一个实特征值1，设1是A的属于1的特征向量，则10，且A1=1.由于在Rn中，n个线性无关的向量可作成Rn的基，并且Rn中任一个线性无关向量组都可扩充为它的基.现将1扩充为Rn的基1,2,n.由施密特正交化定理，由1,2,n可得标准正交组1,2,n.,注意1仍是A的属于1的特征向量，而1,2,n仍是Rn的基，有,令S=(1,2,n)，则S是正交矩阵，且,于是,由于A是对称阵，故,从而B也是对称阵，有b12=b1n=0，且,是n-1阶实对称阵.由归纳假定，存在n-1阶正交矩阵S1使,作,则S2是n阶正交阵，且,这样，有,令Q=SS2，则,，故Q为n阶正交矩阵，而Q-1AQ=QTAQ为对角形.显然Q的列向量是A的特征向量，而1,2,n为A的全部特征值.证毕.,定理5.3.5告诉我们，对任何实对称方阵A，必存在正交矩阵Q，使QTAQ=Q-1AQ为对角形.同时，由此定理还可看出，若A的特征值是k重的，则它有k个线性无关特征向量。因此，在具体把实对称阵A相似,对角化时，关键是找出n个相互正交的特征向量来.,例5.