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第十一章曲线积分与曲面积分,1对弧长的曲线积分,定义：（函数在光滑平面曲线上有界）性质：几何意义：当时，为曲线的弧长。,1.1对弧长的曲线积分的计算,1.2利用对称性及奇偶性简化对曲线积分的计算,设平面曲线关于轴对称，且位于上半平面的部分曲线为，则如果被积函数关于是奇函数，则；如果被积函数关于是偶函数，则；平面曲线关于轴对称时有类似的结论。,设空间曲线关于面对称，且位于面上半部分曲线为，则如果被积函数关于是奇函数，则；如果被积函数关于是偶函数，则；关于其它坐标面的对称性也有类似结论。,1.2利用对称性及奇偶性简化对曲线积分的计算,2.1对坐标的曲线积分的定义,定义：函数在上对坐标的曲线积分函数在上对坐标的曲线积分,2.1对坐标的曲线积分的定义,定义：在空间的有向光滑曲线上的对坐标的曲线积分：,性质：,2.2对坐标曲线积分的计算,设有向光滑曲线，起点参数，终点参数，当单调地从变到时，点从起点变到终点，连续且不同时为零，则同理，一般的，,对于空间有向光滑曲线，则两类曲线积分之间的关系：其中，是空间曲线方向的方向余弦。,3.1格林公式,有界闭区域由分段光滑的曲线围成，函数、在区域内的一阶偏导数连续，是区域的正向边界曲线，则注：,3.2四个等价命题,设为单连通区域，函数、在区域内的一阶偏导数连续，则以下四个命题等价：在内，；对于内的任意一条闭曲线，；对于内任意一条曲线，积分值与路径无关，只与的起点和终点有关；存在内的可微函数，使得。,4.1对面积的曲面积分,定义：性质：几何意义：（是曲面的面积）,4.2对面积的曲面积分的计算,设曲面一阶偏导数连续，则当时，如果曲面方程为或时，有类似的计算方法。,4.3关于面积的曲面积分的对称性,对于积分，积分曲面关于坐标面面对称，则如果被积函数关于是奇函数，则；如果被积函数关于是偶函数，则其中是的在坐标面上半部分的曲面，对其他情形有类似的对称性。,5.1对坐标的曲面积分,定义：函数在有向曲面上对坐标的曲面积分。记作：同理，可定义：,性质：（1）（2）若表示与相反侧的有向曲面，则,5.2对坐标的曲面积分的计算,设曲面，取上侧，在面上的投影区域为，在上连续，函数在上一阶偏导数连续，则当曲面取下侧时，,即同理，,（上侧为正，下侧为负）,（前侧为正，后侧为负）,（右侧为正，左侧为负）,5.3两类曲面积分之间的关系,其中为有向曲面的指定一侧的法向方向的方向余弦。,6.高斯公式(Gaus
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