井冈山大学数学物理方法复习.pptx

第一章复变函数,一个复数z可以表示为某个实数x与某个纯虚数iy的和,代数式，x=Rez,y=Imz,极坐标：,一个复数的幅角值不能唯一的确定，可以取无穷多值，相差2整数倍。规定满足条件，,的一个特定值，argz为Argz的主值(主幅角)。,共轭复数,常用的复变函数,若函数在的领域内（包括本身）已经单值确定，并且，则称f(z)在点连续。,(,0,lim0()=(0,0,连续,导数,若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件：,、在点不仅存在而且连续。(ii)C-R条件在该点成立。C-R条件为,(,=(,(,=(,解析,若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。,解析的必要条件：函数f(z)=u+iv在点z的领域内(i)、存在。(ii)C-R条件在该点成立。解析的充分条件：函数f(z)=u+iv在领域内(i)、不仅存在而且连续。(ii)C-R条件在该点成立。,解析函数和调和函数的关系,拉普拉斯方程的解都是调和函数：,22+,22=0,由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足CR条件。,当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过CR条件列微分方程,第二章复变函数的积分,单连通柯西定理：若函数f(z)在单连区域D内解析，则它沿D内任一围线的积分都等于零。,复连通区域柯西定理：,解析函数的积分值与路径无关！,式中l为区域外边界线，诸li为区域内边界线，积分均沿边界线的正方向进行.,柯西公式,若f(z)在单连有界区域D内解析，在闭区域D的边界连续，则对于区域D的任何一个内点a，有其中是边界线。,()=12(,()=!2(+1,柯西导数公式,非常重要的特例：,任意函数总可以在解析区域写成幂级数形式：泰勒级数或洛朗级数,第三章幂级数展开,幂级数收敛判定：比值判定法(达朗贝尔判别法),函数项级数的各项都是幂函数，,解析函数的泰勒级数展开设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内的任意z点，f(z)可展开为幂级数，其中，CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆.,当所研究的区域上存在函数的奇点时，就不再能将函数展开成泰勒级数，而需要考虑在除去奇点的环域上展开。,洛朗级数展开,环域上的解析函数的洛朗级数展开设f(z)在环形区域R2Iz-z0IR1的内部解析，则对环域内的任一点z，f(z)可展开为幂级数，其中,积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.,孤立奇点,若函数f(z)在某点z0不可导，而在z0的任意小邻域内除z0外处处可导，则z0为f(z)的孤立奇点.,第四章留数定理,单个孤立奇点,多个孤立奇点,有限远点的留数定理：设函数f(z)在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点b1,b2,b3,bn外解析，在闭区域B上除b1,b2,b3,bn外连续，则留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和.,无限远点的留数定理：设函数f(z)在无限远点的邻域解析，在围绕无限远点的回路l之外的区域上没有有限远奇点，则,全平面的留数定理：函数f(z)在全平面上所有各点的留数之和为零，有,罗必达法则！,求解单极点的留数,单极点的函数洛朗展开：,若函数f(z)=P(z)/Q(z),P,Q在z0解析，P(z0)0,则有,m阶极点的留数,留数定理计算型积分,第一种类型：型积分,02(cos,sin),令,第二种类型：型积分,(),复变函数f(z)在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z在上半平面及实轴上时，zf(z)一致地0.,第三种类型,条件：F(x)和G(x)分别为偶函数和奇函数，且在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z在上半平面及实轴上时，F(z)及G(z)一致地0.,(),第四种类型条件：f(x)在实轴上有极点，除此之外，f(z)满足类型二或类型三的条件。,实轴上的奇点只能是单极点，不能是二阶或以上的极点，更不能是本性奇点，否则积分值为趋于无穷大或不存在,第五章傅里叶变换,三角函数族,正交关系,傅里叶级数展开,1.奇函数的傅里叶展开,2.偶函数的傅里叶展开,在有限区间上的函数的傅里叶展开,0,f(x),g(x),复数形式的傅里叶级数,取一系列复指数函数作为基组函数,傅里叶积分与傅里叶变换,傅里叶变换式,傅里叶积分,奇函数的傅里叶积分表达,偶函数的傅里叶积分表达,函数,第七章数学物理定解问题,数学物理方程的导出,定解条件,边界条件,第一类：第二类：第三类：,达朗贝尔公式定解问题,第八章分离变数法,2(,2=22(,2,|=0=(),|=0=(0,)=(,)=0,定解问题,分离变量,(,)=()(,解本证方程,()+()=0(0)=()=0,本征值=2,本征函数()=()=sin,解非本征方程,()+2()=0,()=()=cos+sin,的通解为,(,)=1()()=1cos+si