第四章ppt第34章ppt4-3

4.3.1齐次线性方程组解的结构,4.3线性方程组解的结构,设n元齐次线性方程组,（4.3.1）,其中A=(aij)mn为系数矩阵,X=(x1,x2,xn)T.,对于齐次线性方程组AX=0,如果R(A)n,它有无穷多个非零解,这些解之间有什么关系？这些解如何表示出来？下面讨论这些问题.,首先,我们介绍齐次线性方程组的解的性质.,，,，,证设X1,X2为齐次线性方程组AX=0的两个解向量,则有AX1=0,AX2=0,于是A(X1+X2)=AX1+AX2=0，即X1+X2为方程组AX=0的解向量.,性质1齐次线性方程组的两个解向量的和仍为它的解向量.,，,，,证设X1为齐次线性方程组AX=0的一个解向量,k为任一常数,则A(kX1)=kAX1=k0=0,即kX1为AX=0的解向量.,性质2齐次线性方程组AX=0的一个解向量乘以常数k仍为它的解向量.,由性质1和性质2可知,齐次线性方程组解向量的任意线性组合仍为其解向量.由此可知,n元齐次线性方程组解向量的集合为一向量空间,称为它的解空间,它是n维向量空间的一个子空间.,，,，,定义4.3.1设a1,a2,ak是齐次线性方程组(4.3.1)的一组解向量,并且,（1）a1,a2,ak线性无关；,（2）方程组(4.3.1)的任意一个解向量均可由a1,a2,ak线性表出.,则称a1,a2,ak是齐次方程组(4.3.1)的一个基础解系.,，,，,由定义可知,基础解系是齐次线性方程组AX=0解向量集的极大线性无关组,是它的解空间的一组基.因为一个向量组的极大线性无关组不唯一,同一向量组的不同极大线性无关组所含向量个数相同,所以齐次线性方程组AX=0的基础解系不唯一,但所含向量个数是唯一确定的.,定理4.3.1如果齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩R(A)=rn,则方程组有基础解系,并且任一基础解系中含有n-r个解向量.,，,，,证因为R(A)=rn,所以A中至少有一个r阶子式不为零,不妨设A中位于左上角的r阶子式不为零,按照与推导定理4.2.1同样的方法,方程组有无穷多解,并且,，,，,其中xr+1,xr+2,xn为自由未知量.写成解的向量形式,有,（4.3.2）,，,，,逐次取自由未知量(xr+1,xr+2,xn)为(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)则得,此即为方程组的n-r个解向量.,，,，,下面证明a1,a2,an-r是方程组的一个基础解系.,首先它可以看成是在n-r个n-r维基本单位向量(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)中的每个向量上添加r个分量而得到的,所以a1,a2,an-r线性无关.,其次,设a=(k1,k2,kn)是方程组的任意一个解向量,将解的表达式写成向量形式,有,即,，,，,这意味着方程组的任意解向量a均可由a1,a2,an-r线性表出.于是我们证明了,当R(A)=rn时,方程组(4.3.1)存在基础解系,它的基础解系中含有n-r个解向量.证毕.,由定理4.3.1,若n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩R(A)=rn,则它的解空间M=X|AX=0是n-r维向量空间,即dimM=n-r,它的任意n-r个线性无关的解向量都是它的基,因此,它的任意n-r个线性无关的解向量都是它的基础解系.由此可知,如果齐次线性方程组AX=0的基础解系为,，,，,那么AX=0的通解（或全部解）为,其中k1,k2,kn-r为任意常数.,若齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩R(A)=n,则它的解空间M=0,这时,dimM=0,因为空间0没有基,故AX=0没有基础解系.,，,，,例4.3.1,的一个基础解系,并写出解的结构.,求齐次线性方程组,解对系数矩阵A作行初等行变换,化为最简阶梯形.,，,，,原方程组的同解方程组为,，,，,因R(A)=2,方程组有基础解系,其中含有n-R(A)=4-2=2个线性无关的解向量.取,x3,x4为自由未知量,分别令,得,方程组的一个基础解系,故原方程组的通解为X=k1a1+k2a2,其中k1,k2为任意常数.,，,从而B的列向量B1,B2,Bk均为齐次线性方程组AX=0的解向量.,，,例4.3.2设A为mn矩阵,B为nk矩阵.若AB=0,证明R(A)+R(B)n.,证设B=(B1,B2,Bk)由AB=0,则,即,若R(A)=rn,则方程组AX=0有基础解系a1,a2,an-r,于是B1,B2,Bk都可由a1,a2,an-r线性表出,由定理3.3.2,即,所以,若R(A)=n,则AX=0只有零解,此时B1=Bk=0,即B=0,从而R(B)=0,结论依然成立.,，,，,例4.3.3设A是mn阶实矩阵,证明:R(ATA)=R(A).,证.作齐次线性方程组,AX=0或ATAX=0,其中X=(x1,x2,xn)T.显然,AX=0的解必定是ATAX=0的解.,反之,若X0是ATAX=0的解,则,从而,，,，,由于a1,a2,am都是实数，所以,设AX0=(a1,a2,am)T,由上式,即,即,因此X0也是AX=0的解.,于是AX=0与ATAX=0同解,由于同解线性方程组的基础解系中含有相同个数的解向量,所以,由上面的两个例子可以看出,把矩阵的求秩问题转化成线性方程组来讨论是十分方便的.,4.3.2非齐次线性方程组解的结构,设n元非齐次线性方程组,其中A=(aij)mn为系数矩阵,X=(x1,x2,xn)T,b=(b1,b2,bn)T.,在(4.3.3)中,令b=0,得到的齐次方程组AX=0称为方程组(4.3.3)的导出组,或称为方程组(4.3.3)的对应齐次线性方程组.,（4.3.3）,，,，,我们先介绍非齐次线性方程组解的一些性质：,性质1设X1,X2是非齐次线性方程组AX=b的任意两个解向量，则X1-X2是其导出组AX=0的解向量.,事实上,性质2非齐次线性方程组AX=b的某一个解向量X0与其导出组的任意一个解向量a之和仍为AX=b的解向量.,事实上，,，,，,定理4.3.2设非齐次线性方程组AX=b,量,a1,a2,an-r是它的导出组AX=0的一个基础解系,则方程组AX=b的通解可表为,其中k1,k2,kn-r为任意常数.,关于非齐次线性方程组解的结构,我们有如下定理,满足,X0是它的一个解向,，,证设X1是方程组AX=b的任意一个解向量,由非齐次线性方程组的解向量的性质1,X1-X0是其导出组AX=0的解向量,于是它可由其基础解系a1,a2,an-r线性表出,即,从而有,证毕.,定理4.3.2表明,当,时,例4.3.4求非齐次线性方程组,的通解.,非齐次线性方程组AX=b通解(也称为全部解或一般解)可以表示为它的某个已知解向量(特解)加上它的导出组AX=0的通解.,解(1)先求方程组的一个特解.,对增广矩阵做初等行变换,，,，,故方程组有无穷多,个解，它的同解方程组为,取x2,x4为自由未知量,令x2=x4=0,得方程组的一个特解,(2)再求它的导出组的通解.,方程组的导出组的同解方程组为,同样取x2,x4为自由未知量.,令x2=1,x4=0,得解,令x2=0,x4=1,得解,，,，,则a1,a2为导出组的一个基础解系.于是导出组的通解为,(3)由非齐次线性方程组解的结构，得方程组的通解为,其中k1,k2为任意常数.,其中k1,k2为任意常数.,，,，,(1)求其导出组AX=0的通解；,解(1)由题设条件,AX=0为三元齐次线性方程组,且1R(A)3,由非齐次线性方程组解的性质1,a1=X2-X1=(0,1,0)T,a2=X3-X2=(0,0,1)T为AX=0的解向量,由于a1,a2线性无关及A0,所以R(A)=1,于是a1,a2为AX=0的基础解系.故AX=0的通解为,例4.3.5设X1=(1,0,0)T,X2=(1,1,0)T,X3=(1,1,1)T为非齐次线性方程组AX=b的三个解向量,且A0.,(2)求AX=b的通解.,，,，,(2)由非齐次线性方程组解的结构,知方程组AX=b的通解为,其中k1,k2为任意常数.,其中k1,k2为任意常数.,，,，,试讨论a,b为何值时,（2）可由1,2,3唯一地表示,并求出表示式;,例4.3.6已知向量,（1）不能用1,2,3线性表示;,（3）可由1,2,3表示,但表示式不惟一,并求出表示式.,，,，,对上述线性方程组的增广矩阵做初等行变换,有,解作线性方程组,，,，,（1）当a=0,b=0时,因此,当a=0,b为任意值时,方程组无解,即不能用1,2,3线性表示.,方程组无解;当a=0,b0时,R(A)=2,=3,方程组也无解.,（2）当a0且ab时,，,，,这时方程组有唯一解:,，,从而有唯一表示式：,，,，,（3）当a=b0时,方,程组有无穷多个解，这时,于是得原方程组的同解方程组,，,，,其中k为任意常数.,取x3为自由未知量,令x3=k,得方程组的一,，,