鲁棒控制(H范数与Riccati) (1).ppt

2020年5月24日,鲁棒控制,1,H范数与Riccati方程/不等式,2020年5月24日,鲁棒控制,2,系统描述,2020年5月24日,鲁棒控制,3,哈密顿矩阵与黎卡提方程,设,，而且,，即Q和R是对称的，,则哈密顿(Hamilton)矩阵定义为：,关于,的矩阵方程：,称为黎卡提(Riccati)方程。,2020年5月24日,鲁棒控制,4,其中且B为列满秩，C为行满秩。,哈密顿矩阵与黎卡提方程,考虑代数Riccati方程和相应矩阵H,定义1：如果2n2n矩阵H满足,其中，则称H为Hamilton矩阵。,2020年5月24日,鲁棒控制,5,如果Hamilton矩阵H没有虚轴上的特征值，则H矩阵具有下述性质：若，i=1,2,n,则。即H的特征值以虚轴、实轴对称。,如果系统（A,B）能稳定，（C,A）能检测，则矩阵H没有虚轴上的特征值，且H的Jordan标准型为,即存在H的非奇异特征向量矩阵W，使得,即存在H的非奇异特征向量矩阵W，使得,哈密顿矩阵与黎卡提方程,2020年5月24日,鲁棒控制,6,定理：矩阵代数Riccati方程存在唯一解且使的充分必要条件是（A,B）能稳定，(C,A)能检测。若还有(C,A)能观测，则P0.,证明：充分性（1)解的存在性（2）解的对称性（3）为稳定矩阵（4）解的非负定性（5）解的唯一性必要性,2020年5月24日,鲁棒控制,7,X=Ric(H)和dom(Ric)的定义,定义:满足黎卡提方程,并且使ARX稳定的X，称为黎卡提方程的稳定化解，用XRic(H)表示。定义:若哈密顿矩阵H在虚轴上没有特征值，对应于稳定特征值的特征向量基满足式，其中X1是非奇异的，则Hdom(Ric)。,2020年5月24日,鲁棒控制,8,有关哈密顿矩阵和黎卡提方程的结论,结论1:若Hdom(Ric)，XRic(H)，则a)XXT；b)XAATXXRXQ0；c)ARX是稳定的。结论2:如果H在虚轴上没有特征值，R是半正定的或半负定的对称矩阵，而且(A，R)是可稳定的，则Hdom(Ric)。结论3:若(A,B)是可稳定的,(C,A)是可检测的,则哈密顿矩阵dom(Ric),XRic(H)0。当(C,A)为能观测时，则XRic(H)0成立。,2020年5月24日,鲁棒控制,9,关于H范数的定理(1),2020年5月24日,鲁棒控制,10,关于H范数的定理(2),定理2：的充要条件是M在虚轴上没有特征值。,2020年5月24日,鲁棒控制,11,H范数计算的步骤,选择一个常数0;计算哈密顿矩阵的特征值i；若有i在虚轴上，则增加，否则减少；通过折半搜索不断地进行迭代计算，可使的搜索快速收敛于，并且具有任意的精度。,2020年5月24日,鲁棒控制,12,H范数计算的框图,no,yes,no,yes,2020年5月24日,鲁棒控制,13,关于H范数的两个基本定理(1),定理1：下述四个命题是等价的:,b)哈密顿矩阵,在虚轴上没有特征值；,a)；,c)黎卡提方程,具有使稳定的半正定解X0；,d)Hdom(Ric)，Ric(H)0。,2020年5月24日,鲁棒控制,14,定理2：下述两个命题是等价的:,a)；,b)对于一个充分小的常数e0，黎卡提方程,具有正定解X0。,关于H范数的两个基本定理(2),2020年5月24日,鲁棒控制,15,H范数与Riccati不等式,设严格正则有理传递函数，则为稳定阵，且的充分必要条件为存在矩阵P0，满足Riccati不等式,2020年5月24日,鲁棒控制,16,设严格