第八章 广义逆矩阵PPT演示课件

第八章广义逆矩阵定理：设是数域上一个矩阵，则矩阵方程总是有解。如果，并且其中与分别是阶、阶可逆矩阵，则矩阵方程(1)的一般解(通解)为,(1),(2),1,北京理工大学高数教研室,其中分别是任意矩阵。证明：把形如(3)的矩阵以及(2)式代入矩阵方程(1)，得到：,(3),2,北京理工大学高数教研室,3,北京理工大学高数教研室,所以形如(3)的每一个矩阵都是矩阵方程(1)的解。为了说明(3)是矩阵方程(1)的通解，现在任取(1)的一个解，则由(1)和(2)得因为可逆，所以从上式得,(4),4,北京理工大学高数教研室,把矩阵分块，设代入(4)式得即,(5),5,北京理工大学高数教研室,由此得出，代入(5)式便得出这证明了矩阵方程(1)得任意一个解都能表示成(3)的形式，所以公式(3)是矩阵方程(1)的通解.定义：设是一个矩阵，矩阵方程的通解称为的广义逆矩阵，简称为的广义逆。我们用记号表示的一个广义逆。,6,北京理工大学高数教研室,定理(非齐次线性方程组的相容性定理)：非齐次线性方程组有解的充分必要条件是证明：必要性。设有解，则。因为，所以充分性。设，则取得所以是的解。,7,北京理工大学高数教研室,定理(非齐次线性方程组解的结构定理)：设非齐次线性方程组有解，则它的一般解(通解）为其中是的任意一个广义逆。证明：任取的一个广义逆，我们来证是方程组的解：已知有解，根据前一个定理得：这表明是的一个解。,8,北京理工大学高数教研室,反之，对于的任意一个解，我们要证存在的一个广义逆，使得。设是矩阵，它的秩为，且,其中与分别是阶、阶可逆矩阵。由于的广义逆具有形式(3)，因此我们要找矩阵，使,9,北京理工大学高数教研室,即先分析与之间的关系。因为,所以有分别把分块，设,(6),10,北京理工大学高数教研室,则(6)式成为所以，因为，所以，从而。设，且设。取,11,北京理工大学高数教研室,则于是从而只要取则,12,北京理工大学高数教研室,定理(齐次线性方程组解的结构定理)：数域上元齐次线性方程组的通解为其中是的任意给定的一个广义逆，取遍中任意列向量。证明：任取，我们有所以是方程组的解。,13,北京理工大学高数教研室,反之，设是方程组的解，要证存在，使得。取我们有所以是方程组的通解。利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的另一种形式的通解。,14,北京理工大学高数教研室,推论：设数域是元非齐次线性方程组有解，则它的通解为其中是的任意给定的一个广义逆，取遍中任意列向量。证明：我们已经知道是非齐次线性方程组的一个解，又知道是导出组的通解，所以是的通解。,15,北京理工大学高数教研室,伪逆矩阵定义：设，若，且同时有则称是的伪逆矩阵。上述条件称为MoorePenrose方程。例：设，那么,16,北京理工大学高数教研室,设，那么设，其中是可逆矩阵，则如果是一个可逆矩阵，那么,17,北京理工大学高数教研室,下面我们讨论伪逆矩阵的求法定理：设是的一个满秩分解，则是的伪逆矩阵。例1：设求。解：利用满秩分解公式可得,18,北京理工大学高数教研室,从而的伪逆矩阵是,19,北京理工大学高数教研室,例2：设求。解：由满秩分解公式可得于是其伪逆矩阵为,20,北京理工大学高数教研室,21,北京理工大学高数教研室,推论：若，则若，则定理：伪逆矩阵唯一。证明：设都是的伪逆矩阵，则,22,北京理工大学高数教研室,根据此定理知，若，则。,23,北京理工大学高数教研室,定理：设，则证明：容易验证(1)，(2)，现在只证(3)。设是的满秩分解，则的满秩分解可以写成,24,北京理工大学高数教研室,其中是列满秩，为行满秩，故由式得因此同理可证：,25,北京理工大学高数教研室,例：设，则是正定或半正定Hermite矩阵，故存在，使得证明解：因为,26,北京理工大学高数教研室,不妨设,则,27,北京理工大学高数教研室,28,北京理工大学高数教研室,其中故于是,29,北京理工大学高数教研室,令由，知,30,北京理工大学高数教研室,因此由得例：已知求。解：的特征值的特征向量为,31,北京理工大学高数教研室,的特征向量为故,32,北京理工大学高数教研室,代入得：,33,北京理工大学高数教研室,练习1：已知求其奇异值分解与。练习2：设,34,北京理工大学高数教研室,求。答案：（1）奇异值分解式为,35,北京理工大学高数教研室,（2）其伪逆矩阵为,36,北京理工大学高数教研室,不相容线性方程组的解问题定义：设，如果维向量对于任何一个维向量，都有则称是方程组的一个最小二乘解。若是最小二乘解，如果对于任一个最小二乘解都有不等式则称是最佳最小二乘解。,37,北京理工大学高数教研室,定理：设，则是方程组的最佳最小二乘解。例1：求不相容方程组的最佳最小二乘解。,3