第1章ppt修改后第12章ppt1-3

1.3行列式的展开与计算,上节介绍了一些应用行列式的性质计算行列式的方法.一般来讲,当行列式的阶数比较高时,计算起来比较麻烦,而行列式的阶数较低时，则计算起来相对简单.本节中，我们介绍如何把高阶行列式转化为低阶行列式的计算方法.,1.3.2拉普拉斯(Laplace)定理,1.3.1行列式按一行（或一列）展开,1.3.1行列式按一行（或一列）展开,定义1.3.1在n阶行列式D=|aij|n中，划掉元素aij所在的第i行和第j列后,留下的元素按照原来的顺序组成的n-1阶行列式称为元素aij的余子式,记为Mij.称,为元素aij的代数余子式.,例如四阶行列式,中元素a23的代数余子式,元素a23的代数余子式是,定理1.3.1n阶行列式D=|aij|n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,(1.3.1),(1.3.2),或,证定理分三步证明.,(1)首先讨论行列式D的第一行中除a110外,其余元素均为零的情形,即,按行列式的定义,(2)其次讨论行列式D中第i行元素除aij0外，其余元素均为零的情形,即,先将D的第i行依次与第i-1,2,1各行作i-1次相邻对换调到第一行,再将第j列依次与j-1,2,1各列作j-1次相邻对换调到第一列,这样对D共进行了i+j-2次对换,由行列式的性质3及情形（1），,(3)一般情形，把D写为,由行列式的性质4及情形(2),这样就证明了按行的展开公式(1.3.1).同理可证按列的展开公式(1.3.2).证毕.,定理1.3.1可叙述为:行列式可以按它的任一行展开,也可以按它的任一列展开.由这个定理,可把一个行列式用比其阶数较低的行列式表示出来.,定理1.3.2n阶行列式D=|aij|n中某一行(列)的各个元素与另一行（列）的对应元,素的代数余子式乘积之和等于0.即,证,=,两边行列式都按第i行展开,得,移项化简,得,同理可证另一式.证毕.,把定理1.3.1与定理1.3.2结合起来，得到两个重要公式：,(1.3.3),(1.3.4),定理1.3.1和定理1.3.2告诉了我们计算行列式的一种方法-降阶法,但在实际应用时,因为要计算多个降阶行列式,计算量仍然可能比较大.因此在应用这个方法时,可先利用行列式的性质,使行列式中某行(或列)的元素尽可能多的化为零,然后按这一行(或列)对行列式展开.这样继续下去,就可以把一个高阶行列式最后转化为计算若干个二阶行列式,从而达到简化计算的目的.,例1.3.1计算行列式,解,D=,=,=40.,例1.3.2计算n+1阶行列式,其中,解这个行列式的特点是,除去第1行、第1列以及主对角线外，其余元素都为零,可利用行列式的性质把其化为三角形行列式.,由于,i+1列乘以,，将行列式的第,后都加到第1,列上，得,例1.3.3计算n阶行列式,解按第1列展开,由于对于n2,Dn=xDn-1+an都成立,从而,因为D1=a1+x,于是,在上例中，我们把行列式的计算化为形式相同而阶数较低的行列式的计算,这种方法称为递推法,关系式Dn=xDn-1+an称为行列式的递推公式.递推法也是计算行列式的一种有效方法,下面我们介绍另外一种行列式的计算方法数学归纳法.,例1.3.4证明n阶范德蒙(Vandermonde)行列式,证对Vn的阶数n作数学归纳法.,当n=2时,所以当n=2时结论成立.,假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，考虑n阶范德蒙行列式.从第n行起,每行减去前一行的a1倍,得到,按第一列展开后,将每一列的公因子(ai-a1)提出来,得到,上式右端是一个n-1阶范德蒙行列式,由归纳假设得到,因此，对n阶范德蒙行列式结论成立,1.3.2拉普拉斯(Laplace)定理,上一段我们介绍了行列式按一行（或一列）展开的计算方法，本段将把它推广到更加一般的情形，即行列式按若干行（或若干列）展开的计算方法，这就是将要介绍的拉普拉斯(Laplace)定理.为此,首先推广行列式中元素的余子式和代数余子式的概念.,定义1.3.2在n阶行列式D中,任取k行、k列(1kn-1)，由这些行和列交叉处的元素按照原来的相对位置所构成的k阶行列式N，称为D的一个k阶子式.在行列式D中去掉k阶子式N所在的行和列以后，剩下的元素按原来的顺序构成的nk阶行列式M,称为N的余子式.若N所在的行序数为i1,i2,ik,所在的列序数为j1,j2,jk,则称,为N的代数余子式.,例如，在4阶行列式,中选取第1，4行，第2，3列，得到一个2阶子式,N的余子式为,N的代数余子式为,定理1.3.3(拉普拉斯(Laplace)定理)在n阶行列式D中任意选取k行（列）(1kn-1),则由这k个行（列）中的一切k阶子式N1,N2,Nt与它们所对应的,代数余子式A1,A2,At乘积之和等于D，即,其中,定理的证明从略,有兴趣的读者可参考文献1.,例1.3.5计算五阶行列式,解利用定理1.3.3，把行列式按前二行展开，这两行共有,个二阶子式,其中不为0的只有3个,即