第5节 实数的完备性Cauchy收敛定理_第1页
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文档简介

5实数的完备性：,Cauchy收敛定理,定义5.1,一柯西列或基本列,例.,证：,例2.,证明：,例3.,证：,引理：,任意数列中必有一单调子列.,证明1：,(1)若数列中有无穷个“龙头”,(2)若数列中有有限个“龙头”,“龙头”：数列中的一项大于或等于其后的所有项，这一项是龙头,依次取出得到递减子列,取出最后一个龙头的下一项，（不是龙头）,得到递增子列,再取出其后面比它大的一项，（不是龙头）,列紧性定理5.1：,任意有界数列必有收敛子列.,二、列紧性定理,定理5.1,任意有界数列中必有收敛子列.,证明2：,（二分法）,三、柯西收敛准则（原理）,定理5.2：,证明：,应用列紧性定理,例1证明数列,收敛。,证法1：根据Cauchy收敛定理，则,所以，数列,收敛。,单调增加，且,证法2：数列,例2,证明数列,收敛,证明,证：,例3,则数列收敛。,数列收敛，,则根据Cauchy收敛定理，,数列收敛，,证明：,例：假设数列满足下面情况，问是不是基本列,解：,(1)不一定，例如,例：假设数列满足下面情况，问是不是基本列,例6.,不单调,分析：,例6.,证1：,证2：
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