第一章函数与极限电子教案第三节_第1页
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文档简介

一、函数极限的定义,二、函数极限的性质,一、函数极限的定义,在上一节我们讨论了数列的极限，,而数列xn=f(n),可以看成是函数y=f(x)当自变量x取正整数的特殊情,形.,所以，可以用研究数列极限完全相同的思想和方法,来研究函数在自变量的某一变化过程中，,函数值的变化,情况，,即函数的极限.,自变量的变化过程主要有两种：,(1)自变量趋于有限值(xx0)；,(2)自变量趋于无穷大(x).,1.自变量趋于有限值时函数的极限,1.96,1.4,2.25,1.69,1.21,1.02,1,0.98,0.81,0.49,0.36,0.25,y,1.5,1.3,1.1,1.01,1,0.99,0.9,0.7,0.6,0.5,x,引例设y=f(x)=x2,x0=1，,观察当xx0时，y的变化趋势.,由此可以看出：,当x无限接近x0时，,函数值f(x)无,限接近1.,f(x)无限接近1,|f(x)1|,x无限接近x0,|xx0|,如果给定f(x)与1的接近程度，,x0的接近程度.,例如=0.3，,则可求出一个=0.1，,当|xx0|=0.1时，,就有|f(x)1|=0.3成立.,比如x=0.91时，,|f(0.91)1|=0.1719=0.3.,则一定可求出x与,定义1设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定,义,如果存在常数A，,对于任意给定的正数(不论它,多么小)，,总存在正数，,使得当x满足不等式,0|xx0|,时，,对应的函数值f(x)都满足不等式,|f(x)A|，,那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限，,记作,或f(x)A(当xx0).,注意,定义中的00，当0|xx0|0，0，当x0x0，当x0x0，当|x|X时，有|f(x)A|0，X0，当x0，当xX时，有|f(x)A|0和0，,使得当0|xx0|0(或A0)，,0|xx0|0(或f(x)0，,使得当,由定理3的证明，可得到如下更强的结论：,定理3如果,那么就存在着x0,的某一去心邻域,当,时，就有,推论如果在x0的某去心邻域内f(x)0(或f(x)0),而且,那么A0(或A0).,*定理4(函数极限与数列极限的关系)如果极限,存在，,xn为函数f(x)的定义域内任一
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