三大衍求一术.pptx

第三讲中国古代数学瑰宝,大衍求一术,西北师大附中张婷,普通高中课程标准实验教科书数学选修3-1数学史选讲,情境引入,韩信练兵,每3人一列，余1人每5人一列，余2人每7人一列，余4人13人一列，余6人韩信至少多少兵？,新知探究,问题1:篮内有鸡蛋若干个，每次取3个还剩1个；每次取5个，篮内剩1个；每次取七个，仍然剩1个，篮内至少有多少个鸡蛋？,问题2:篮内有鸡蛋若干个，每次取3个刚好取完；每次取5个，篮内剩三个；每次取七个，最后一次少了4个鸡蛋，篮内至少有多少个鸡蛋？,同余问题（余数相同）,新知探究,问题3:篮内有鸡蛋若干个，每次取3个还剩2个；每次取5个，篮内剩3个；每次取七个，还剩2个，篮内至少有多少个鸡蛋？,孙子算经物不知数,今有物不知其数：三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？,孙子算经,解：选定57的一个倍数，被3除余1，即70；选定37的一个倍数，被5除余1，即21；选定35的一个倍数，被7除余1，即15.然后按下式计算：式中105为3、5、7的最小公倍数，p为适当选取的整数，使得0N105,该题取p=2.,新知探究,凡三三数之剩一则置七十，五五数之剩一则置二十一，七七数之剩一则置十五.一百六以上，以一百五减之，即得.,孙子算经中给出的算法：术曰，三三数之剩二置一百四十，五五数之剩三置六十三，七七数之剩二置三十，并之得二百三十三，以二百十减之，即得.,新知探究,孙子算经,明朝数学家程大位在算法统宗中把上式总结为一首通俗易懂的歌决：,新知探究,三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.,“物不知数”问题属于数论的一次同余方程组问题，用现代数学符号可表示为求同余方程组的整数解：,新知探究,推广“物不知数”问题：,新知探究,推广“物不知数”问题：,中国剩余定理孙子定理,学以致用,今有物不知其数：五五数之剩三，七七数之剩一，九九数之剩二，问物几何？,五人同居两七九，七贵公侯五九五，重阳节满八五七，冬至寒食三合除.,答曰：218,数书九章(1247),秦九韶,“大衍求一术”中“求一”指求一个数，被某数除余1之意，而“大衍”一次来自易经，是演变的意思.秦九韶将它们合二为一.,南宋数学家秦九韶在数学九章中阐述了求解一次同余方程组的算法“大衍总数术”，其中包括求的一种机械化方法“大衍求一术”,数学文化,18世纪初，欧拉，拉格朗日等都对一次同余式组进行研究，最后“数学王子”高斯在其著作算术探究中给出了一般性解法，并命名为“高斯定理”.,数学文化,1852年英国传教士伟烈亚力将“孙子问题”的解法传到欧洲.1874年德国科学史家马蒂生在其著作中公开指出高斯解法符合“大衍求一术”，康托尔赞扬发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”.在数学史中，把“高斯定理”改为“中国剩余定理”.,高斯,数学文化,古代历法推算，需要规定一个起算点，叫做“历元”。古人追求更为理想的“历元”，求出一个“日月合璧，五星连珠”的时刻，即日月位置相合，五大行星会聚在天空同一位置的时刻，这个理想的历元称为上元。上元要包含回归年、恒星年、交点月、近点月、五星会和周期等所有周期。一部中国的历法史，几乎可以说是上元的演算史。,从数学上看，“上元”的确定就是求解以上面各种周期为模数的同余式组。,某单位有100把锁，分别编号为1，2，3，100.现在要对钥匙编号，使外单位的人看不懂，而本单位的人一看见锁的号码就知道该用哪一把钥匙.,拓展思考,利用中国剩余定理，把锁的号码被3，5，7去除所得的三个余数来作钥匙的号码（首位余数是0时，也不能省略）.这样每把钥匙都有一个三位数编号.例如23号锁的钥匙编号是232号，52号锁的钥匙编号是123号.