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文档简介

一、泰勒级数的概念,二、函数展开成幂级数,一、泰勒(Taylor)级数的概念,幂级数研究中的两个基本问题：,1.已知幂级数，求其收敛域以及和函数；,2.给定一函数f(x)，求作一个幂级数，使该幂级,数在其收敛域内以f(x)为和函数.,在第三节已研究了第一个问题，本节将研究第二个,问题.,1.定义,定义设函数f(x)在x0的某一邻域U(x0)内具有任,意阶导数，,则称幂级数,为f(x)在点x0处的泰勒级数.,而称幂级数,为f(x)的麦克劳林级数.,2.函数能展开成幂级数的条件,定理设函数f(x)在x0的某一邻域U(x0)内具有任,意阶导数，,则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充,分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)满足,二、函数展开成幂级数,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知函数的幂级数,展开式展开,1.直接展开法,直接展开法的步骤如下：,Step1求函数及其各阶导数在x=0处的值;,Step2写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;,Step3判别在收敛区间(-R,R)内,是否为0.,例1将函数f(x)=ex展开成x的幂级数.,x,y,O,例2将函数f(x)=sinx展开成x的幂级数.,x,y,O,例3将函数f(x)=(1+x)m展开成x的幂级数，其中,m为任意实数.,上式叫做二项展开式，,当m为正整数时，级数为x,的m次多项式，也就是代数学中的二项式定理.,对应,的二项展开式分别为,2.间接展开法,间接展开法就是利用已知函数的幂级数展开式和幂,级数的性质，进行展开.,用直接展开法，我们已得到了几个常用函数的幂级,数展开式：,下面5个函数的幂级数展开式经常用到：,例4将下列函数展开成x
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