【数学】苏州市2020届高三年级上学期期末试卷数学及答案

1 江苏省苏州市 20192020 学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷 高三数学试题 202001 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答案 填写在答题卡相应的位置上 ） 1已知集合 A1x x，B1，0，1，4，则 AIB 2已知 i 是虚数单位，复数 z(1bi)(2 i)的虚部为 3，则实数 b 的值为 3从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概 率为 4为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的 车辆数，得到以下频率分布直方图（如图） ，已知在5，7)之间通过的车辆数是 440 辆， 则在8，9)之间通过的车辆数是 5如图是一个算法流程图，若输入的 x 值为 5，则输出的 y 值为 第 4 题 第 5 题 第 9 题 6已知等比数列 n a中， 1 0a ，则“ 1 a 2 a”是“ 3 a 5 a”的 条件 （填“充 分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要” ） 7在平面直角坐标系 xOy 中，己知点 F1，F2是双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的左、右焦 点，点 P 的坐标为(0，b)，若F1PF2120，则该双曲线的离心率为 8若 x，y 满足约束条件 0 0 10 x xy xy ，则 zx3y 的最大值为 9如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆 锥底面半径相同， 已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 2 5 ， 弧长为4cm 的扇形， 则该冰淇淋的体积是 cm3 10在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 xmym20(mR)上存在点 P，使得过点 P 向 圆 O： 22 2xy作切线 PA（切点为 A） ，满足 PO2PA，则实数 m 的取值范围 2 为 11在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l： 1 2 y 与函数( )sin() 6 f xx (0)的图 象在 y 轴右侧的公共点从左到右依次为 A1，A2，若点 A1的横坐标为 1，则点 A2的 横坐标为 12如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 AD3，BC4，E， F 为 AB，CD 的中点，P，Q 为对角线 AC，BD 的中点，则 PQ EF uuu r uur 的值为 13已知实数 x，y 满足 2 ()12x xyy ，则 22 54xy的最小 值为 第 12 题 14已知函数 2 ( ) 48 2 5 x ex x e f x x x x ， ， （其中 e 为自然对数的底数） ，若关于 x 的方程 2( ) fx 2 3( )20a f xa恰有 5 个相异的实根，则实数 a 的取值范围为 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域 内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤 ） 15 （本题满分 14 分） 已知向量a r (sinx， 3 4 )，b r (cosx，1) （1）当a r b r 时，求 tan2x 的值； （2） 设函数( )2()f xab b rrr ， 且x(0，2 )， 求( )f x的最大值以及对应的 x 的值 3 16 （本题满分 14 分） 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CACB，D，E 分别是 AB，B1C 的中点 （1）求证：DE平面 ACC1A1； （2）若 DEAB，求证：ABB1C 17 （本题满分 14 分） 为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建 设， 某自然村将村边一块废弃的扇形荒地(如图)租给蜂农养蜂、 产蜜与售蜜 已知扇形 AOB 中， AOB 2 3 ， OB2 3(百米)，荒地内规划修建两条直路 AB， OC，其中点 C 在AB 上(C 与 A， B 不重合)， 在小路 AB 与 OC 的交点 D 处设立售蜜点， 图中阴影部分为蜂巢区， 空白部分为蜂源植物生长区设BDC，蜂果区的面积为 S(平方百米) （1）求 S 关于的函数关系式； （2）当为何值时，蜂巢区的面积 S 最小，并求此时 S 的最小值 4 18 （本题满分 16 分） 如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”过椭圆第一象 限内一点 P 作 x 轴的垂线交其“辅圆”于点 Q，当点 Q 在点 P 的上方时，称点 Q 为点 P 的 “上辅点”已知椭圆 E： 22 22 1 xy ab (ab0) 上的点(1， 3 2 )的上辅点为(1，3) （1）求椭圆 E 的方程； （2）若OPQ 的面积等于 1 2 ，求上辅点 Q 的坐标； （3）过上辅点 Q 作辅圆的切线与 x 轴交于点 T，判断直线 PT 与椭圆 E 的位置关系， 并证明你的结论 19 （本题满分 16 分） 已知数列 n a满足 1 2 nn Snaa， 3 4a ，其中 n S是数列 n a的前 n 项和 （1）求 1 a和 2 a的值及数列 n a的通项公式； （2）设 123 1111 2462 n n T SSSSn L(Nn )若 123 TT T，求 k 的 值；求证：数列 n T中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积 5 20 （本题满分 16 分） 已知函数 ln ( ) ax f x x (aR) （1）求函数( )f x的单调区间； （2）当函数( )f x与函数( )lng xx图象的公切线 l 经过坐标原点时，求实数 a 的取 值集合； （3）证明：当a(0， 1 2 )时，函数( )( )h xf xax有两个零点 1 x， 2 x，且满足 1 1 x 2 11 xa 6 江苏省苏州市 20192020 学年第一学期期末学业质量阳光指标调研卷 高三数学试题答案 202001 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答案 填写在答题卡相应的位置上 ） 1已知集合 A1x x，B1，0，1，4，则 AIB 【答案】1,4 2已知 i 是虚数单位，复数 z(1bi)(2 i)的虚部为 3，则实数 b 的值为 【答案】1. 【解答】z=2-b+(2b+1)i，因此 2b+1=3,b=1. 3从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概 率为 【答案】 3 2 【解答】三人中选二人有 2 3 C种选法，一男一女的选法共有 1 1 1 2C C种，因此选中的恰好是一男 一女的概率为 2 3 1 1 1 2 C CC = 3 2 。 4为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的 车辆数，得到以下频率分布直方图（如图） ，已知在5，7)之间通过的车辆数是 440 辆，则在 8，9)之间通过的车辆数是 【答案】100. 【解答】5，7)之间的 组距 频率 =0.24+0.20=0.44，因此车辆总数=4400.44=1000。所以8，9) 之间通过的车辆数为 10000.10=100 辆。 5如图是一个算法流程图，若输入的 x 值为 5，则输出的 y 值为 【答案】2. 【解答】x=5，因此 x1，因此 a5=a3q2a3，所以“ 1 a 2 a”是“ 3 a 5 a”的充分条件；若“ 3 a 5 a” ，即 a5=a3q2a3，所以 q21，q1 或 q-1。当 q-1 时， a2=a1qa1，因此“ 1 a 2 a”是“ 3 a 5 a”的不必要条件。 7在平面直角坐标系 xOy 中，己知点 F1，F2是双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的左、右焦 点，点 P 的坐标为(0，b)，若F1PF2120，则该双曲线的离心率为 【答案】 2 6 【解答】由对称性知F1PO=60，所以360tanFtan F 1 1 PO b c OP O ，因此 2 6 2 3 )3( )3( 22 2 22 2 2 2 bb b bc c a c a c e。 8若 x，y 满足约束条件 0 0 10 x xy xy ，则 zx3y 的最大值为 【答案】3. 【解答】画出（x,y）满足的区域，不难看出当 z=x+3y 过点（0,1）时取最大值 3. 9如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆 锥底面半径相同， 已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 2 5 ， 弧长为4cm 的扇形， 则 8 该冰淇淋的体积是 cm3 【答案】 3 31616 。 【解答】 圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 2 5 ， 弧长为4cm 的扇形， 从而圆锥底面圆 半径 r= 弧长 2 4 2 =2，母线长 l=10 5 2 4 圆心角 弧长 ，由勾股定理可求的圆锥体的高 64210h 2222 rl。 半球体积 33 1 2 3 4 2 1 3 4 2 1 rV= 3 16 。 圆锥体体 积 3 616 642 3 1 r 3 1 22 2 hV。 因此冰淇淋的体积为 21 VVV= 3 31616 。 【点评】本题考察范围较多，涉及到圆锥体侧面展开图求母线求底面圆半径，勾股定理求圆 锥体高以及圆锥体体积公式和球体积公式， 计算量较大， 考查学生的计算能力。 属于中档题。 10在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 xmym20(mR)上存在点 P，使得过点 P 向 圆O： 22 2xy作切线PA （切点为A） ， 满足PO2PA， 则实数m的取值范围为 【答案】m 3 4 或 m0. 【解答】由勾股定理知道： 222 rPO PA，又 PO2PA，因此 PA2=r2，即 PA=r，因此 PO=r2 ， 现在即将题目转化为： 直线上存在点到圆心距离为 r2。 因此只要让圆心到直线 的最小距离 dr2即可。22 1 |200| 22 m m d，即 2 m12|2m|，两边 平方整理得043 2 mm，解此不等式得 m 3 4 或 m0. 11在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l： 1 2 y 与函数( )sin() 6 f xx (0)的图 象在 y 轴右侧的公共点从左到右依次为 A1，A2，若点 A1的横坐标为 1，则点 A2的横坐 标为 【答案】3. 【解答】 点A1的横坐标为 1， 纵坐标为 2 1 ， 代入函数) 6 sin()( xxf得， 2 1 ) 6 (sin。 9 因此 6 5 2 6 2 6 kk或（kN） ，又点 A1是 y 轴右侧的第一个公共点，所以 6 5 6 ， 3 2 。点 A2为 y 轴右侧的第 2 个公共点，所以点 A2的横坐标 0 x满足 6 13 6 0 x，解得点 A2的横坐标 0 x=3. 12.如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 AD3，BC4，E，F 为 AB，CD 的中点，P，Q 为对角线 AC，BD 的中点，则PQ EF uuu r uur 的值为 【答案】 4 7 。 【解答】连接点 Q，F，P，E。由中位线定理知 FQBC 且 FQ= 2 1 BC。同理有 PEBC 且 PE= 2 1 BC。FPAD 且 FP= 2 1 AD。QEAD 且 QE= 2 1 AD。因此四边形 FPQE 为平行四边 形 ，EPEQPQ=BC 2 1 AD 2 1 ，ADBCEQEP 2 1 2 1 EF， 所 以 4 7 -)4-3( 4 1 )( 4 1 ) 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 (PQ 22 22 BCADBCADBCADEF。 13已知实数 x，y 满足 2 ()12x xyy ，则 22 54xy的最小值为 【答案】4. 【 解 答 】 将 2 21)(yyxx展 开 整 理 得12 22 yxyx， 因 式 分 解 为 1)2)(yxyx。令yxvyxu2,，有 uv=1，解得 3 2vu x ， 3 uv y 。因 此 44 9 36 9 28162 9 2816 ) 3 (4) 3 2 (545 2222 2222 uv uvuvvuuvvuvuvu yx 当 u= 2 1 ，v=2 时取等号。 14已知函数 2 ( ) 48 2 5 x ex x e f x x x x ， ， （其中 e 为自然对数的底数） ， 若关于 x 的方程 2( ) fx 2 3( )20a f xa恰有 5 个相异的实根，则实数 a 的取值范围为 【答案】a= 2 1 或 e 2 a2 时， xx x xf 5 8 5 4 5 84 )( 单调递增， 值域为(0, 5 4 )。 当 x2 时， x e ex xf)(， xx xx e xe e xee xf )1 ( )( 2 11 ，令0)( x f，解得 x=1。当 x1 时，0)( x f，f(x)单调增，值域为（-，1） 。当 2x1 时，0)( x f，f(x)单调递减， 值 域 为 e 2 ， 1 。 根 据 以 上 分 析 ， 画 出| )(|xf的 草 图 如 下 当 a0 时，axf | )(|或axf2| )(|都无根。 当 a=0 时，axf | )(|或axf2| )(|只有 1 个根。 当 0a e 1 时，axf | )(|或axf2| )(|共有 6 个根。 当 e 1 a 5 2 时，axf | )(|或axf2| )(|共有 7 个根。 当 a= 5 2 时，axf | )(|或axf2| )(|共有 6 个根。 当 5 2 a 2 1 时，axf | )(|或axf2| )(|共有 6 个根。 当 a= 2 1 时，axf | )(|或axf2| )(|共有 5 个根。 当 2 1 a e 2 时，axf | )(|或axf2| )(|共有 4 个根。 当 a= e 2 时，axf | )(|或axf2| )(|共有 5 个根。 当 e 2 a1)。 当 n=1 时，0 1 a满足22 nan。故通项公式22 nan。 （2） ) 1(2 2 )22( 2 2 nnnnn nn nSn。 因此 1 11 ) 1( 1 2 1 nnnnnSn 。 所以 1 11 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 nn Tn= 1 1 1 n 。 32T TTk= 2 1 = 1 1 1 k ，解之得 k=1。 证明：对数列 n T中的任意一项 122 ) 22 1 1)( 12 1 1 ( 1 1 1 jjj TT jjj T恒成立。 即数列 n T中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积证明完毕。 20 （本题满分 16 分） 已知函数 ln ( ) ax f x x (aR) （1）求函数( )f x的单调区间； （2）当函数( )f x与函数( )lng xx图象的公切线 l 经过坐标原点时，求实数 a 的取 15 值集合； （3）证明：当a(0， 1 2 )时，函数( )( )h xf xax有两个零点 1 x， 2 x，且满足 1 1 x 2 11 xa 【解答】（1） 对)(xf x xaln 求导， 得 2 ln1 )( x xa xf ， 令0)( x f， 解得 a ex 1 。 当), 0( 1 a ex 时，0)( x f，f(x)单调递增。 当), 1 a ex时，0)( x f，f(x)单调递减。 （2） 设公切线 l 与函数xxgln)(的切点为 （ 00, y x） ， 则公切线 l 的斜率 k= 0 0 1 )( x xg， 公切线 l 的方程为：)( 1 0 0 0 xx x yy， 将原点坐标 （0,0） 代入， 得1 0 y， 解得ex 0 。 公切线 l 的方程为：x e y 1 ,将它与)(xf x xaln 联立，整理得xx e aln 1 2 。令 xx e xmln 1 )( 2 ，对之求导得： ex x xm 12 )( 2 ，令0)( x m，解得 2 2 x。当 ) 2 2 , 0(x时，0)( x m，m(x)单调递减，值域为（ 2 2ln 2 1 e ，） ；当), 2 2 x 时，0)( x m，m(x)单调递增，值域为