行列式的计算方法 - 多项式 行列式 与计算方法

1,行列式的计算方法小结,2,4、其他方法：,1、定义法：适用于0比较多的行列式,2、利用性质化三角形行列式,3、按行（列）展开,析因子法箭形行列式行（列）和相等的行列式递推公式法加边法（升级法）拆项法数学归纳法,3,（一）析因子法,例：计算,解：由行列式 定义知为 的4次多项式,又，当 时，1，2行相同，有 ，,为D的根,当 时，3，4行相同，有,为D的根,故 有4个一次因式:,4,设,令 则,即，,5,（二）箭形行列式,解：把所有的第 列 的 倍加到,第1列，得：,6,可转为箭形行列式的行列式：,（把第 i 行分别减去第1行， 即可转为箭形行列式）,7,想过快乐生活，需要高超技术,技术高，才能站得高，站得高，才安全性高！技术包括很多种专业技术熟练，处理人际关系策略，各种娱乐的技术，提高做事效率的技术，等等技术,8,2.心理学是让人快乐的技术,乐观、积极、进取、勇敢、勤劳、自信所有的事情都是人干的，所以人心理都是相通的，了解自己的心理，就可以认识别人的心理。彼此了解，就会增加互信互助，心有烦恼可以分担，好事可以分享。这样心理就健康，工作效率就高,9,（三）行（列）和相等的行列式,解：,10,解,2),11,12,（四）升级法（加边法）,13,14,（五）递推公式法,15,由以上两式解得,而,行列式的值求出 的值）,（先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线形,关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）,16,例 计算2n阶行列式,解 按第一行展开,有,再对两个(2n-1)阶行列式各按最后一行展开,得,17,例 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,18,证: 将第n-1行乘以(-x1)加到第n行,将第n-2行乘以(-x1)加到第n-1行,这样依次下去,最后将第1行乘以(-x1)加到第2行,得,按第一列展开,并提出每一列的公因子(xi -x1)(i=1,2,n),得递推公式:,19,20,（六）拆项法（主对角线上、下元素相同）,21,继续下去，可得,当 时,22,例 计算n阶行列式,解: 将最后一列写成两数之和的形式,再由行列式的性质5可得,23,由观察可知,上式右端第一个行列式按最后一列展开得Dn-1,而第二个行列式从最后一行开始,每后一行乘以(-1)加到相邻的前一行上,就变为下三角形,其值为1,故得,24,（七） 数学归纳法,例、证明：,证：当 时， ，结论成立,假设 时结论成立，即，,25,对 ，将 按最后一列拆开，,26,所以 时结论成立，故原命题得证,27,（八） 范德蒙行列式,解：考察 阶范德蒙行列式,例、计算行列式,28,显然 就是行列式 中元素 的余子式 ，,又由 的表达式及根与系数的关系知，,中 的系数为：,即，,29,即有,于是有,练习1、计算,30,同理有,即,31,解,练习2、计算,32,又,33,当 时,当 时,34,证： 时， . 结论成立,假设 时，结论成立,当 时， 按第 行展开得,练习3、证明：,35,于是 时结论亦成立，原命题得证,由归纳