第6章王健ppt校对6-4

定义6.4.1设,6.4正定二次型和正定矩阵,在实二次型中,正定二次型具有重要的地位.本节讨论正定二次型及正定矩阵的定义、性质和常用的几个判别方法.,则称实二次型,为n元,实二次型.若对于任意非零实向量,都有,为正定二次型;相应的实对,称矩阵,注意,只有当,定理6.4.1n元实二次型,称为正定矩阵.,其正定性,不是实对称的矩阵不谈论是否正定.,是实对称阵时才考虑,正定的充要条件是,全都大于零.,证必要性若,正定,取一组数,代入得,当,时,得,全都大于零.,充分性若,全都大于零,则,对任一组不全为零的实数,有,因为至少有一个,即,而其余的,所以,即,是正定二次型.证毕.,，,，,作为n元实函数,它在非零点的函数值总大于零.从而,秩为n且正惯性指数也为n的n元二次型是规范形时,它是正定的.但如果二次型不是规范形,就不是很容易观察出来了.此时可以用可逆线性变换将其化为规范形.然而这样做,它的正定性是否保持不变呢?,根据定义,正定二次型,，,，,由惯性定理可知,实二次型经过可逆线性变换后其正惯性指数不变,因而实二次型经过可逆线性变换保持正定性不变.,确切地说,若实二次型,经过可逆线性变换,化为,此处,.若,是,正定的,则,也是正定的;反之,亦然.于是有以下定理.,定理6.4.2可逆线性变换不改变实二次型的正定性.,关于n元正定二次型,有下述性质:,性质1n元实二次型,性质2实对称矩阵,充要条件是其正惯性指数等于n.,正定的,为正定的充要条,件是,合同于单位矩阵,.,性质3实对称矩阵,证由性质2可知,性质4实对称矩阵,证设,为正定的充要条,件是存在可逆矩阵,使,正定的充要条件,是,合同于单位矩阵,即存在可逆矩阵,使,.证毕.,为正定的充要条,件是,的特征值全大于0,从而正定矩阵的,行列式大于0.,是n阶实对称矩阵,由定理,5.3.5,必有正交矩阵,使,，,，,其中,由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必,是,的全部特征值.因为,正定的充要条件是,正定.而,对应的,二次型为,要条件是,，,，,的行列式大于0.证毕.,即正定矩阵,例6.4.1判断实二次型,由于,的正定性.,解二次型,的矩阵为,其特征多项式为,，,，,下面介绍判定实对称矩阵,从而,的特征值为1,1,5,由性质4可知,为正定二次型.,个常用性质.为此,先引入下述顺序主子式的定义.,正定的一,，,，,称其为矩阵,取,定义6.4.2设,是n阶矩阵,依次,的前k行和前k列所构成的k阶矩阵的,行列式,的k阶顺序主子式.,性质5实对称矩阵,正定的充要条件,是,的各阶顺序主子式全大于零.,性质5的证明从略.,例6.4.2试问,取何值时,为正定二次型？,解二次型,的矩阵为,要使,正定,只需让,的各阶顺序主子式,大于零,即,于是当,时,为正定二次型.,定义6.4.3设,为n元,实二次型,为任一非零的实向,量.若恒有,则称,为半正定,二次型;若恒有,则称,为负,定二次型;若恒有,则称,为,半负定二次型.,上述二次型对应的矩阵,正定矩阵,负定矩阵和半负定矩阵.,分别称为半,易见半正定矩阵包括了正定矩阵在内,若,既不是半正定,又不是半,负定,则称,为不定二次型,相应的矩阵,称为不定矩阵.,半负定矩阵包括了负定矩阵在内.此外,为负定矩阵的充要条件是,为正定矩阵,为半负定矩阵的充要条件是,为半正,定矩阵.而,为不定矩阵意味着既存在某些,的值使,又存在另一,些,的值使,关于负定二次型和半正定二次型,有如下结论.,定理6.4.5设,为实,二次型,则下列命题等价:,是负定二次型;,的负惯性指数为n;,合同于,;,的特征值均小于零;,的奇数阶顺序主子式小于零,偶数阶顺序主子式大于零.,定理6.4.6设,为实,二次型,则下列命题等价:,是半正定二次型;,的正惯性指数,其中,的秩;,是,合同于矩阵,;,的特征值均非负.,应该注意:如果实对称矩阵,的所有,顺序主子式非负时,未必是半正定的.,如,的所有顺序主子式皆等于0,但,是一个半负定矩阵.,例6.4.3判断下列二次型的类型:,;,.,解二次型,的矩阵为,的顺序主子式,所以,为负定二次型.,二次型,的矩阵为,的顺序主子式,所以,是不定二次型.,例6.4.4证明:,阶矩阵,正定的充,要条件是存在,阶正定矩阵,使,证充分性假设有,阶正定矩阵,使,由,对称知,对称.再由,正定,则,的特征值,都大于0,从而,的特,征值,都大于0,所以,是正定矩阵.,必要性设,是,阶正定矩阵,则,为实对称矩阵,从而存在正交矩阵,使得,即,其中,是,的,个特征值,且都大于,零,于是,取,则,.又,的,个特征值,都大于零,所以,为正