高考数学复习专题6.1：数列的子数列问题的研究与拓展_第1页
高考数学复习专题6.1：数列的子数列问题的研究与拓展_第2页
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专题6.1：数列的子数列问题的研究与拓展【问题提出】问题1：已知数列满足，求证：数列为等差数列的充要条件是；问题2：已知正项数列满足，求证：数列为等比数列的充要条件是；【探究拓展】探究1：若数列为公差为的等差数列，试探究数列为等差数列的充要条件，并加以证明；探究2：若正项数列满足：数列为公比为的等比数列，试探究数列为等比数列的充要条件，并加以证明.思考：已知数列an满足，an+1+ an4n3(nN*) （1）若数列an是等差数列，求a1的值；（2）当a12时，求数列an的前n项和Sn；解:（1）若数列an是等差数列，则an a1+ (n1)d，an+1 a1 + nd由an+1+ an4n3，得(a1+nd) + a1+(n1)d 4n3，即2d4，2a1d43，解得，d2，a1（2）由an+1+ an4n3，得 an+2 + an+14n + 1(nN*)两式相减，得an+2an4 所以数列a2n-1是首项为a1，公差为4的等差数列 ，数列a2n是首项为a2，公差为4的等差数列，由a2 + a11，a12，得a21 所以an 当n为奇数时，则an2n，an+12n3 所以Sna1+a2+an(a1+a2)+(a3+a4)+ +(an-2+an-1)+an1+9+(4n11)+2n 当n为偶数时，Sna1+a2+an(a1+a2)+(a3+a4)+ +(an-1+an) 1+9+(4n7)所以Sn总结方法:（1）通过消项法得到子数列的特征；（2）求出各子数列的通项公式；探究3：数列满足，则的前项和为_；，即，思考1：数列满足(为常数),求的通项公式.思考2：若数列满足且（其中为常数），是数列的前项和，数列满足.（1）求的值；（2）试判断是否为等差数列，并说明理由；（3）求（用表示）.20解：（1）由题意，得，.（2），即，于是当且仅当，为等差数列，数列为等差数列，又， ，由，为等差数列，得，当时，数列为等差数列；当时，数列不为等差数列. （3），即，. 由（2）， ，由，又，,，探究4：数列的各项均为正数.若对任意的，存在，使得成立，则称数列为“型”数列.（1）若数列是“型”数列，且，求；（2）若数列既是“型”数列，又是“型”数列，证明：数列是等比数列.思考：设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项的和为，已知对任意整数
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