高考数学复习专题7.27：直线与圆锥曲线的位置关系的研究与拓展_第1页
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专题7.27：直线与圆锥曲线的位置关系的研究与拓展【探究拓展】探究1：在平面直角坐标系中 ，已知以为圆心的圆与直线：，恒有公共点，且要求使圆的面积最小.（1）写出圆的方程；（2） 圆与轴相交于A、B两点，圆内动点P使、成等比数列，求的范围；（3）已知定点Q（，3），直线与圆交于M、N两点，试判断 是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线的方程；若不存在，给出理由.【分析】（1）一般来说，求圆的方程有两类办法：几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解本小题关键是找到直线经过定点M（4,3），这样符合条件的圆，就是以OM为直径的圆；（2）对条件的化简，要有整体思想这样可以使运算量大大减少；（3）充分利用直线与圆几何性质.【解答】（1）因为直线：过定点T（4，3） ,由题意，要使圆的面积最小, 定点T（4，3）在圆上， 所以圆的方程为. （2）A（-5，0），B（5，0），设，则，由成等比数列得，即，整理得：,即 由（1）（2）得：， （3） . 由题意，得直线与圆O的一个交点为M（4，3），又知定点Q（，3），直线：，则当时有最大值32. 即有最大值为64，此时直线的方程为. 【反思】 研究直线与圆、圆与圆的位置关系要紧紧抓住圆心到直线、圆心距与圆的半径的大小关系这一关键点在讨论有关直线与圆相交问题时，如能充分利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中计算，往往能事半功倍探究2：给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆” 若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为（1）求椭圆及其“伴随圆”的方程；来源:（2）若过点的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，求的值；（3）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.解：（1）由题意得：，半焦距 则椭圆C方程为 “伴随圆”方程为 （2）则设过点且与椭圆有一个交点的直线为：， 则整理得所以，解 又因为直线截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为，则有化简得 联立解得，所以，则 （3）当都有斜率时，设点其中，设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，由，消去得到 即， ， 经过化简得到：， 因为，所以有，设的斜率分别为，因为与椭圆都只
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