高考数学复习专题2.14：二次函数交点式的研究与拓展_第1页
高考数学复习专题2.14：二次函数交点式的研究与拓展_第2页
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专题2.14：二次函数交点式的研究与拓展【问题提出】已知二次函数经过三点，求解析式.法：由的纵坐标相等知，是方程的两个根，可设零点式.把代入，得，从而，化简即得.【探究拓展】探究1：如图，已知二次函数（，为实数，）的图象过点，且与轴交于，两点，若，则的值为 .探究2：设函数f(x)x22bxc(cb1)，f(1)0，方程f(x)10有实根（1）证明：3c1且b0；（2）若m是方程f(x)10的一个实根，判断f(m4)的正负并加以证明解： (1) 证明：f(1)012bc0b.又cb1，故c13c.方程f(x)10有实根，即x22bxc10有实根，故4b24(c1)0，即(c1)24(c1)0c3或c1.又cb1，得3c1，由b知b0.(2) f(x)x22bxcx2(c1)xc(xc)(x1)，f(m)10，cm1，c4m430，f(m4)的符号为正变式1：已知函数，且，则以下四个命题中真命题的序号为_.（1），都有；（2），都有；（3），使得；（4），使得.变式2：已知函数,且,，集合,则以下四个命题真命题的序号为_.（1），都有；（2），都有；（3），使得；（4），使得.探究3：设二次函数，方程的两个根满足.（1）当时，证明：；（2）设函数的图象关于直线对称，证明：.【答案】（1）欲证，只须证，即，同除以，只须证.这由已知条件易得成立，故命题得证.（2）欲证，只须证.由已知条件易得最后一项小于0，故命题得证.探究4：已知函数（为常数）,（1）若在和 处取得极值，求的值；（2）若在和上单调递增且在上单调递减，满足求证：；（3）在（2）的条件下，若,试比较与的大小，并加以证明.解(1)f(x)=x2+(b-1)x+c，由题意得，1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的两根（2）由题意得，当x(-，x1)(x2，+)时，f(x)0；x(x1，x2)时f，(x)1，(x2-x1)2-10， b22(b+2c)（3）在(2)的条件下，x2+(b-1)x+c=(x-x1)(x-x2)， 即x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)+x， 所以t2+bt+c-x1=(t-x1)(t-x2)+t-x1 =(t-x1)(t+1-x2)，x21+x11+t，t+1-x20，又tx1，t-x10，即t2+bt+cx1 .探究5：已知二次函数f(x)=ax2+bx+c及一次函数g(x)=bx（1）若abc，a+b+c=0设f(x)，g(x)两图像交于A、B两点，当线段AB在x轴上的射影为A1B1，试求的取值范围；（2）对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式f（x），使f（x）=0有两个小于1的不等正根，求a的最小值 答案：（1）；（2）5提示：（1）依题意，因为abc，a+b+c=0，所以设x1，x2分别为点A、B的横坐标，则因为又因为所以则的取值范围为（2）设二次三项式为，依题意知于是又为整系数二次三项式所以
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