高考数学复习专题2.2：嵌套函数相关问题的研究与拓展VIP

专题2.2：嵌套函数相关问题的研究与拓展【问题提出】问题1：设函数，若，则_ 变式：设函数f(x),若f(f(a)2,则实数a的取值范围是_. 问题2：对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点已知函数（1）当时，求的不动点；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围【探究拓展】探究1：若函数有极值点 ,且则关于的方程的不同实根个数是_ 3变式1：设函数，则函数的零点个数为_.4变式2：函数方程有7个根的充要条件是_,变式3：设定义域为的函数，若关于的方程有7个不同的实数解，则2变式4：已知函数和在的图象如下图表示：给出下列四个命题：方程有且仅有6个根； 方程有且仅有3个根；方程有且仅有5个根； 方程有且仅有4个根；其中正确命题的是_(注：把你认为是正确的序号都填上). 变式5：已知函数，关于的方程，给出下列四个命题： 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为_变式6： (2009年福建高考第10题)函数的图象关于直线对称. 据此可推测，对任意的非零实数，关于的方程的解集都不可能是（ ）DA. B C D 变式7：已知函数，试讨论方程的解的情况. 变式8：已知函数，若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是_. 探究2：定义在R上的函数,关于x的方程有5个不同的实数根x1，x2，x3，x4，x5，则f (x1x2x3x4x5)_.变式1： 已知函数f(x)则使ff(x)2成立的实数x的集合为 .答案：x|0x1,或x=2变式2：已知定义在R上的函数，则成立的整数x的取值的集合为 变式3：（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数，当时，则实数的取值范围是 .变式4：设函数，若函数有且只有2个不同的零点，则实数的取值范围为_. 思考：设函数，若函数有且只有3个实根，则实数的取值范围为_.变式5：定义域为的函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是_. 变式6：已知函数，则函数的所有零点之和是_. 变式7：已知关于的方程在上有两个不同的实数根，则的取值为 .4. 或探究3：已知函数，. 若为单元素集，试求的值. 拓展1：已知，函数，如果函数与函数有相同的零点，试求实数的取值范围.变式：已知是不全为零的实数，函数，方程有实根，且的实数根都是的根，反之，的实数根都是的根.（1）求的值；（2）若，求的取值范围.拓展2：（12年江苏）已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点（1）求a和b的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数探究4：定义：一般地，对于定义在区间上的函数（1）若存在,使得,则称是函数的一阶不动点,简称不动点；（2）若存在,使,则称是函数的二阶不动点,简称稳定点；若, 两集合之间的关系如何？拓展1：（2009年上海交大自主招生）定义函数的不动点，当时，我们称为函数的不动点，若有唯一不动点，则也有唯一不动点.拓展2：（2010浙大自主招生）对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，.（1）求证：；（2）若，且，求实数的取值范围； （3）若是上的单调递增函数，是函数的稳定点，问是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.解：（1）若，则显然成立；若，设，故. （2）有实根，.又，所以，即的左边有因式，从而有. ，要么没有实根，要么实根是方程的根.若没有实根，则；若有实根且实根是方程的根，则由方，得，代入，有.由此解得，再代入得，由此，故a的取值范围是. （3）由题意：x0是函数的稳定点, 则， 若，是R上的单调增函数，则，所以，矛盾. 若，是R上的单调增函数，则，所以，矛盾 故， 所以x0是函数的不动点. 变式1：设函数（）,若存在使成立，则的取值范围是_变式2：设函数（，为自然对数的底数），若存在使成立，则的取值范围是_.变式3：设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点，使成立，则的取值范围是_拓展3：已知函数，. 若为单元素集，试求的值. 拓展4：能否给出不动点稳定点的几何意义？变式1：（2008年上海交大自主招生）已知函数，且没有实数根，是否有实数根？并证明你的结论.【答案】没有.法一：无实数根，.即为，.于是有或.；.故均不存在实数根.法一：先介绍一个引理.引理：若，则.引理的证明：，有，故，由的任意性知.回到原题. 即，这是一个4次方程，由上述引理知，一定可以分解出这样一个因式.，即.由于无实根. 下面只要说明方程是否有实根即可. 下略(见上面的解法).法二：若，则，对一切恒成立，于是；若，则，对一切恒成立，于是.综上所述，没有实数根.法三：反证法. 若存在，令，则，即是图像上的点；又，即也是图像上的点. 显然这两个点不重合，且这两点关于直线对称. 而是连续函数，故与必有交点，从而有实数解，矛盾！注：从法三可以看出，此题的结论不只针对二次函数是对的，对一般的连续函数都有一样的结论.变式2：设，则满足条件的所有实数的取值分别为_. 解：由易得.（i）当时，显然成立；（ii）当时，记，令，则，可知即和的解只能为，故必须无解，解得综上：变式3：（2013年江西高考）已知函数，且（1）证明：函数的图像关于直线对称； （2）若满足, 但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，试确定实数的取值范围.探究5：设，若函数为单调递增函数，且对任意实数，都有（是自然对数的底数），则的值等于_.解析：由，采用换元，即有：(1)(2)； 可知：(3)；又已知函数为增函数，可知，代入(2)式有；因此：；变式1：已知函数是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x 0，都有，则= _【答】【说明】必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为，与单调函数矛盾所以可设则将c代入，得，即是单调增函数，当c = 时，成立，则变式2：已知定义在上的函数为单调函数，且，则.解答：设，可求得答案为.变式3：已知定义域为上的函数为单调函数，若对任意的x 0，都有，求函数的解析式. 变式4：已知定义域为上的函数为单调函数，若对任意的x 0，都有，求函数的解析式.变式5：已知定义域为的函数满足.（1）若，求；若，求；（2）设有且只有一个实数，使得，求函数的解析式.探究6：函数满足，这样的函数有_个值域应为像集的子集（背景：正交空间投影两次不变性）拓展：已知（）满足，求这样的函数个数有多少个？解：规律为：若满足条件的映射中，仅有个自身映射，那么必有（1）10个（2）证明：设满足条件的映射中仅有个自身映射（）,