高考数学复习专题3.1：导数中极值和最值问题的研究与拓展

专题3.1：导数中极值和最值问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：已知函数在处有极值，则_. -7变式1：已知函数，其中若函数仅在处有极值，则的取值范围是 .变式2：已知函数既有极大值又有极小值，实数的取值范围是_. 首先转化为导函数（三次函数）至少有两个互异实数根 极小值小于等于0小于等于极大值变式3：若是定义在R上的函数f(x)极小值点，且f (x)=(x-1)(x2-ax+2), 则a的取值范围为_. a3变式4：设函数，若是的一个极大值点，则实数的取值范围为_. 变式5：下列关于函数的判断正确的是_. 的解集是； 是极小值，是极大值； 没有最小值，也没有最大值.变式6：对于函数的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有2个极值； 乙：该函数的极大值必大于1丙：该函数的极小值必小于1； 丁：方程一定有3个不等的实数根这四种说法中，正确的个数为_ 3 只有丁错误探究2：设（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.解：（2）在上存在单调递增区间，即存在某个子区间 使得.由，在区间上单调递减，则只需即由解得，所以，当时，在上存在单调递增区间. （3）令，得两根，.所以在，上单调递减，在上单调递增当时，有，所以在上的最大值为又，即所以在上的最小值为，得，从而在上的最大值为.变式：设函数，（1）若，求函数在上的最小值；（2）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；（3）求函数的极值点解：（1）；（2）使在上有解，得（3）当时，没有极值点；当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点探究3：已知，.（1）若在区间上无极值点，求实数的值. 1（2）若存在，使得是在上的最值，求实数的取值范围. 或探究4：设函数f(x)=ax2+ex(aR)有且仅有两个极值点x1，x2(x1x2)(1) 求实数a的取值范围；(2) 是否存在实数a满足f(x1)=?如存在，求f(x)的极大值；如不存在，请说明理由解：(1)=2ax+ex显然a0，x1，x2是直线y=与曲线y=g(x)=两交点的横坐标（思考为何要这样变形？）2分由=0，得x=1列表：x(-，1)1(1，+)+0-g(x)g(x)max= 4分此外注意到：当x0时，g(x)0；当x0，1及x(1，+)时，g(x)的取值范围分别为0，和(0，)于是题设等价于0a，故实数a的取值范围为(-，)6分(2)存在实数a满足题设证明如下：由(1)知，0 x11x2，=2ax1+=0，故f(x1)=，故8分记R(x)=(0x0，0，而x1=(0，1)，故当a=时，f(x)极大=f(x1)=16分探究5：已知函数,为常数.（1）若, 求证：函数存在极大值和极小值；（2）设（1）中取得极大值、极小值时自变量的分别为，令点，,如果直线的斜率为，求函数和的公共递减区间的长度；（3）若对于一切恒成立，求实数满足的条件.解：（1） 有两不等 b和f（x）存在极大值和极小值 （2）若a=b，f（x）不存在减区间若ab时由（1）知x1=b，x2=A（b,0）B 当ab时 x1=,x2=b。 同理可得a-b=(舍) 综上a-b=的减区间为即（b,b+1），（x）减区间为公共减区间为（b，b+）长度为.10分（3）若，则左边是一个一次因式，乘以一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因