高考数学复习专题2.11：含绝对值的函数问题的研究与拓展（1）

专题2.11：含绝对值的函数问题的研究与拓展（1）【问题提出】问题1：函数在区间上是减函数，那么m的取值范围是_.问题2：解方程： （1）方程有两解，则实数的取值范围是_；（2）方程有无穷多个解，则实数的取值范围是_；思考：如何解方程问题3： 解不等式：（1）；（2）（1）不等式解集为，则实数的取值范围是_；（2）不等式解集为，则实数的取值范围是_；（3）不等式有解，则实数的取值范围是_；思考：如何解不等式问题3：设是实数若函数是定义在上的奇函数，但不是偶函数，则函数的递增区间为 【探究拓展】探究1：设方程的解集为A，若A0，2，则实数a的取值范围是 （-，-1-，1，+） 代数几何两个角度探究2：已知，函数.（1）判断函数的奇偶性，请说明理由； （2）当时，求使成立的的集合；（3）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（4）若函数在上恒为增函数，求实数的取值范围；（5）求函数在区间上的最小值的表达式；（6）求函数在上的最小值的表达式；（7）求函数在上的最小值的表达式（8）设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请分别求出的取值范围（只要写出结果，不需要写出解题过程）（9）试讨论的零点个数. 解：（1）当时，则为奇函数；当时，且，则既不是奇函数又不是偶函数 （2）当时，且当时，有； 当时，对称轴，在增，； 当时，对称轴，若， 若， 综上所述：； （3）时，；时， （9） 3个零点；，2个零点；，1个零点.变式1：已知函数，其中，且.（1）如果函数的值域是，求实数的取值范围.（2）如果函数的值域是，求实数的最小值.拓展1：已知，则的解集是 图像研究拓展2：已知函数，则不等式的解集为 拓展3：已知函数（1）若函数在R上是增函数，求实数的取值范围；（2）求所有的实数，使得对任意时，函数的图象恒在函数图象的下方；（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围解：（1）由在R上是增函数，则即，则范围为；4分（2）由题意得对任意的实数，恒成立，即，当恒成立，即，故只要且在上恒成立即可，在时，只要的最大值小于且的最小值大于即可，而当时，为增函数，；当时，为增函数，所以； （3）当时，在R上是增函数，则关于x的方程不可能有三个不等的实数根； 则当时，由得时，对称轴，则在为增函数，此时的值域为，时，对称轴，则在为增函数，此时的值域为，在为减函数，此时的值域为；由存在，方程有三个不相等的实根，则，即存在，使得即可，令，只要使即可，而在上是增函数，故实数的取值范围为； 同理可求当时，的取值范围为；综上所述，实数的取值范围为 变式2：设为实数，函数，R.（1）当时，判断函数的奇偶性并求函数的最小值；（2）试讨论的奇偶性； （3）当时，求的最小值.拓展1：已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，求函数在区间上的值域. 拓展2：设a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|（1）若f(0)1，求a的取值范围；（2）求f(x)的最小值；（3）设函数h(x)f(x)，x(a，)，直接写出(不需给出步骤)不等式h(x)1的解集变式1：设m为实数，函数， .（1）若4，求m的取值范围；（2）若对于一切，不等式1恒成立，求实数m的取值范围.利用图像法优化.变式2：已知在上是增函数, 则的取值范围是 .变式3：已知函数，（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求函数在区间-2,2上的最大值【分析】对于第（1）题，关键是发现是函数与的公共零点；第（2）题分离参数即可；第（3）转化为分段函数，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论即可。【解答】（1）方程，即，变形得，显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得. （2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，当时，（*）显然成立，此时； 当时，（*）可变形为，令因为当时，当时，所以，故此时. 综合，得所求实数的取值范围是.（3） 令则 当时，。则。当时，。则， 因为，所以当时，。则因为若，所以若，所以当时，。则综上所述，当时， 在上的最大值为0；当时， 在上的最大值为；当时，在上的最大值为变式4：已知函数，方程有4个不同实数根，则实数的取值范围是_. 拓展3：已知函数满足,对于任意R都有,且 ,令.（1） 求函数的表达式；（2） 求函数的单调区间；（3）研究函数在区间上的零点个数.(1) 解：，. 1分 对于任意R都有, 函数的对称轴为，即，得. 2分 又，即对于任意R都成立， ,且， 4分 (2) 解： 5分 当时，函数的对称轴为，若，即，函数在上单调递增； 6分若，即，函数在上单调递增，在上单调递减 7分 当时，函数的对称轴为，则函数在上单调递增，在上单调递减 8分综上所述，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； 9分当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和 10分 (3)解： 当时，由(2)知函数在区间上单调递增，又，故函数在区间上只有一个零点 12分 当时，则，而， （）若，由于， 且， 此时，函数在区间上只有一个零点； 14分（）若，由于且，此时，函数在区间 上有两个不同的零点 15分 综上所述，当时，函数在区间上只有一个零点；当时，函数在区