高考数学复习专题1.5：集合中计数问题的研究与拓展

专题1.5：集合中计数问题的研究与拓展【拓展探究】探究1：记集合P = 0，2，4，6，8 ，Q = m | m = 100a1 +10a2 + a3，且a1，a2，a3P ，将集合Q中所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第68项是_464探究2：设为整数，集合中的数由小到大组成数列, 则_.131思考1：数列的第项为_. 思考2：设为整数，集合中的数由小到大组成数列，试问当时的数列的最小项为数列的第_项；探究3： 记集合，将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2009个数是 . （本质是十进制转化为七进制表示）探究4：已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和若对于任意的，总有，则称集合具有性质（1）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；（2）对任何具有性质的集合，证明：；（3）判断和的大小关系，并证明你的结论解：（1）集合不具有性质集合具有性质，其相应的集合和是，（2）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个因为，所以；又因为当时，时，所以当时，从而，集合中元素的个数最多为，即（3）解：，证明如下：（1）对于，根据定义，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立故与也是的不同元素可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，（2）对于，根据定义，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与也是的不同元素可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，由（1）（2）可知，探究5：对于正整数，记，若的子集中至少含有两个元素，且中任意两个不同的元素之和不是整数的平方，则称为的“稀疏集”.（1）写出的所有稀疏集；（2）求的最大值，使得能分成两个不相交的稀疏集的并.拓展：对正整数,记,.（1）求集合中元素的个数；（2）若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方,则称为“稀疏集”，求，使能分成两人上不相交的稀疏集的并. 探究6：集合，集合是S的子集，且满足，且，那么满足条件的子集的个数为_83 探究7：对于集合及它的每一个非空真子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替的减、加后继的数. 例如集合的交替和是，集合的交替和是5，当集合中的时，集合的所有非空子集为、，则它的“交替和”的总和为.（1）计算对于的情况，计算它们的“交替和”的总和；（2）能否对（1）提出的问题进行一般性推广？并给出你的证明?变式1：设A是整数集的一个非空子集，对于，如果，那么是A的一个“孤立元”.给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个. 6变式2：从集合的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）都要选出；（2）对选出的任意两个子集，必有或，那么共有_种不同的选法.36探究8：设a,b为实数，我们称（a,b）为有序实数对. 类似地，设A，B，C为集合，我们称（A，B，C）为有序三元组. 如果集合A，B，C满足,且,则我们称有序三元组（A，B，C）为最小相交（表示集合S中的元素的个数）（1）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由