高考数学复习专题2.26：利用递推关系求函数的解析式问题的研究与拓展_第1页
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专题2.26：利用递推关系求函数的解析式问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：已知函数对任意的正整数都有,且，求的解析式. .变式1：已知是定义在正整数集上的函数，且对于任意正整数都有，求的解析式. 变式2：已知是定义在上的函数，且，对任意的都有以下两式成立：，若，则1探究2：设集合，记为同时满足下列条件的集合A的个数：；若，则；若，则（1）求；（2）求的解析式（用n表示）变式1：如图，在边长为的等边中，圆为的内切圆，且与、相切，圆与圆外切，且与、相切，如此无限继续下去，记圆的面积为.(1) 证明是等比数列；(2) 求的值.【解】(1) 记为圆的半径，则，.所以，于是，故是等比数列.(2) 因为，所以.【评注】本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力.在解决图形面积的数列问题时，我们必须具备科学的思维方法和清晰的思维层次，抓住特殊与一般、有限与无限、变形与化归、归纳推理与逻辑证明的关系，以及形式多样的数列递推关系式的转化策略，才能使问题顺利获得解决. 变式2：给一个边长互不相等的凸边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色.所有不同的染色方法记为.（1）求的值；（2）求的值.变式ABCDEF（第23题）3：如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率记为pn（1）求p1，p2的值；（2）求证：解（1）p1，p2(1) 2分（2）因为移了n次后棋子落在上底面顶点的概率为pn，故落在下底面顶点的概率为1pn于是移了n1次后棋子落在上底面顶点的概率为pn+1pn(1pn)pn 4分从而pn+1(pn)所以数列pn是等比数列，其首项为，公比为所以pn()n1即pn 6分用数学归纳法证明：当n1时，左式，右式，因为，所以不等式成立当n2时，左式，右式，因为，所以不等式成立假设nk(k2)时，不等式成立，即则nk1时，左式要证，只要证只要证只要证只要证3k+12k26k2因为k2，所以3k+13(12)k3(12k4C)6k232k26k22k(2k3)12k26k2，所以即nk1时，不
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