高考数学复习专题4.15：算两次思想的研究与拓展_第1页
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专题4.15：算两次思想的研究与拓展【课本溯源】如图，平行四边形中，是中点，交于，试用向量的方法证明：是的一个三等分点. 【探究拓展】探究1：在任意四边形中，分别是的中点，求证：（算两次的数学思想，教材习题，三种方法）变式1：已知是线段外一点，且（1）若点是线段的三等分点，试用向量表示；（2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论.教材习题，倒序求和方法的思路来源变式2：已知点分别是和的重心，且，则解：对向量进行算三次，利用重心模型，可得结论.变式3：等腰三角形中， 分别是边上的点，且其中若的中点分别为且则的最小值是 . 变式4：在正ABC中，点D在边AB上，AD = 1，点E在边BC上，CE = 2，点M，N分别为线段DE，AC的中点，则MN = _ 探究2：在中，为角平分线，点为的中点，交于点，若，且，用表示出解：由内角角平分线定理可得，故，由向量的三角形中线模型得：，得：，故,变式1：在中，点分别在边上，且，与交于点，求及的值 及变式2：在中，交于点，设试以为基底表示（）变式3：在中，是边上的中点，点在边上，且，与交于点，是的中点，则_.探究3：我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这是一种非常有用的思想方法算两次（原理），如小学有列方程解应用题，中学有等积法求高. 结合二项式定理，利用等式，证明：（1）；（2）变式1：利用上述想法及等式证明：变式2：能否对下列组合恒等式给出一个合理的解释？（算两次的思想）组合数公式；（可化简：或倒序求和法）拓展1：在等式（）两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（，正整数），证明：（2）对于正整数，求证：（i）； （ii）； 证明：（1）在等式两边对求导得移项得 （*）（2）（i）在（*）式中，令，整理得 ，所以 （ii）由（1）知两边对求导，得在上式中，令，即 ，亦即 （1） 又由（i）知 （2）由（1）+（2）得拓展2：已知函数，设是的导数，（1）求的值；（2）证明：对于任意，等式都成立解： (1) 解：由已知，故，所以，即.(2) 证明一（官方解法）：由已知得：，等式两边分别对求导：，即，类似可得：，.下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.() 当时，由上可知等式成立；() 假设当时等式成立，即.因为，所以.因此当时，等式成立.综合()，()可知等式对所有的都成
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