Black-Scholes 期权定价模型

2020/5/24,1,2020/5/24,2,2020/5/24,3,金融市场的构成,金融市场分为货币市场、资本市场、外汇市场、黄金市场、保险市场、金融衍生工具市场等。,货币市场是融通短期资金的市场（短期信贷市场、金融同业拆借市场、回购协议市场、商业票据市场等央行主导）；资本市场是融通长期资金的市场（中长期信贷市场、证券市场、信托市场、风险投资市场等；）证券市场是股票、债券、基金单位等有价证券及其衍生产品（如期货、期权等）发行和交易的产所。证券市场是资本市场的核心，股票和债券是金融市场上最活跃、最重要的长期融资工具和金融资产。外汇市场是以外汇作为交易对象的市场；黄金市场是以黄金为交易对象的市场；保险市场是对因意外事故所造成的财产和人身损失加以弥补，以保险单和年金单的发行和转让为交易对象的市场；金融衍生工具有期货合约、期权合约、互换合约、远期利率协议等。,2020/5/24,4,证券市场中金融产品关系图,三、金融衍生产品简介,金融衍生产品，从字面上理解自然是与金融相关的派生物，通常是指从原生资产（英文为UnderlyingAssets）派生出来的金融工具。金融衍生产品交易具有杠杆效应、联动性和风险性大的特点。,三、金融衍生产品简介,金融衍生产品的种类，在国际上是非常多的，而且由于金融创新活动的不断推出新品种，属于这个范畴的东西也越来越多。从目前的基本分类来看，则主要有以下三种分类：,根据产品形态，可以分为远期、期货、期权和互换四大类。,三、金融衍生产品简介,根据原生资产分类，即股票、利率、汇率和商品。,三、金融衍生产品简介,根据交易方法，可分为场内交易和场外交易。场内交易即是通常所指的交易所交易，指所有的供求方集中在交易所进行竞价交易的交易方式。场外交易即是柜台交易，指交易双方直接成为交易对手的交易方式，其参与者仅限于信用度高的客户。,2020/5/24,9,为什么研究衍生产品（金融风险）,风险越来越大、科学问题越来越多,风险度量,2020/5/24,10,工具,2020/5/24,11,2020/5/24,12,2020/5/24,13,2020/5/24,14,2020/5/24,15,2020/5/24,16,2020/5/24,17,2020/5/24,18,期权定价公式,在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：其现值为,2020/5/24,19,证券价格的变化过程,证券价格的变化过程可以用漂移率为S、方差率为的伊藤过程来表示(为何用布朗运动)两边同除以S得：,2020/5/24,20,2020/5/24,21,ChangeofMeasure,21,2020/5/24,22,Theorem,Let(,F,P)beaprobabilityspaceandletZbeanalmostsurelynonnegativerandomvariablewithEZ=1.ForAFdefineThenisaprobabilitymeasure.Furthermore,ifXisanonnegativerandomvariable,thenIfZisalmostsurelystrictlypositive,wealsohaveforeverynonnegativerandomvariableY.,22,2020/5/24,23,ConceptofTheorem,23,2020/5/24,24,ProofofTheorem(1),AccordingtoDefinition1.1.2,tocheckthatisaprobabilitymeasure,wemustverifythatandthatiscountablyadditive.WehavebyassumptionForcountableadditivity,letA1,A2,beasequenceofdisjointsetsinF,anddefine,.Becauseand,wemayusetheMonotoneConvergenceTheorem,Theorem1.4.5,towrite,24,2020/5/24,25,ProofofTheorem(2),But,andsoNowsupportXisanonnegativerandomvariable.IfXisanindicatorfunctionX=IA,thenwhichisWhenZ0almostsurely,isdefinedandwemayreplaceXinbytoobtain,25,2020/5/24,26,Definition,26,ConditionalExpectation,2020/5/24,29,ConditionalProbability,Discrete:ConditionalProbabilityMassFunction,Continuous:ConditionalProbabilityDensityFunction,2020/5/24,30,ConditionalExpectation,Discrete:,Continuous:,2020/5/24,31,Note:,ofy.Wewritethisas,isafunction,i.e.,(ConditionalExpectationFunction),2020/5/24,32,Theorem:,Clearly,whenYisdiscrete,WhenYiscontinuous,2020/5/24,33,Proof:ContinuousCase,Recall,ifX,Yarejointlycontinuouswithjointpdf,Define:,and,2020/5/24,34,Note:,2020/5/24,35,ContinuousCaseCont.,(FubinisTheorem),2020/5/24,36,So,Therefore,concluding,2020/5/24,37,Summary:,WhenYisdiscrete,WhenYiscontinuous,ConditionalVariance,2020/5/24,39,Definition,2020/5/24,40,Proof,2020/5/24,41,Noteaswell,2020/5/24,42,adding,g,2020/5/24,43,随机分析,黎曼积分,勒贝格积分,Ito积分,Stratonovich积分,2020/5/24,44,微积分号称三百多年来最伟大的数学，俨然成了无敌于天下的数学老大，然而当狄里克雷(Dirichlet)大侠将他的魔鬼狄里克雷函数从瓶子里放出来时，微积分却对之无可奈何。,狄利克雷函数（英语：dirichletfunction）是一个定义在实数范围上、值域为0,1的不连续函数。当自变量x为有理数时，f(x)=1；自变量x为无理数时，f(x)=0。狄利克雷函数的图像关于Y轴成轴对称，是一个偶函数；它处处不连续；处处极限不存在；不可积分。这是一个处处不连续的可测函数。,2020/5/24,45,性质定义在整个数轴上。无法画出图像。以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。处处无极限、不连续、不可导。在任何区间上不黎曼可积。是偶函数。它在0,1上勒贝格可积作为很多事情的反例，这个函数在任意一点都不存在极限且是以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数），同时这个函数在积分上也有应用，该函数黎曼不可积，而在其它一些积分中是可积的。,2020/5/24,46,让经典微积分感到恐惧的不仅仅是这样极端病态的函数，在人们施展微积分这门武功去对付各种自然科学中的问题时也会显得心有余而力不足。例如，当我们试图将积分与极限交换顺序时，极限号始终无法穿越那拉长了脸令人望而生畏的S.事实上，一个黎,2020/5/24,47,2020/5/24,48,先研究一个特殊情形：求与直线所围的平面图形的面积S,2020/5/24,49,(1)分割,将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形,分割梯形,分割x轴,分割定义域,“等分”,“等分”,10等分,等分,2020/5/24,50,即把定义域0，1等分成n个小区间：,过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：,曲边梯形面积,2020/5/24,51,（2）近似代替,第i个曲边梯形,当时，我们可以把小曲边梯形近似看成什么图形？又如何计算每个近似图形的面积？这样给我们研究问题带来了哪些帮助？请同学们相互讨论。,（用矩形代替曲边梯形）,2020/5/24,52,（3）求和,2020/5/24,53,（4）取极限分别将区间0，1等分成8，16，32，1024,等份（如下图）,可以看到，当即时，从而有,2020/5/24,54,我们还可以从数值上可以看出这一变化趋势（请见表）,2020/5/24,55,求定积分,解由于被积函数x2在积分区间a,b上连续，故定积分存在。将区间0,1n等分，分点为，各小区间长度都为，取i为各区间的右端点，即,积分和为,现在，所以0相当于n，对上式取极限，得,2020/5/24,56,2020/5/24,57,2020/5/24,58,上述两个积分基本解决了连续可微函数的分割求和问题，然后对于不可微函数（比如布朗运动），这两个积分就相形见绌了。只能引入Ito积分和Stratonovich积分。一条布朗运动的轨迹,从数学上来说处处连续而处处不可微,它的积分可否定义?答案是可以,但是不能采用通常的Riemann积分的定义.举个例子,假设B是一个布朗运动,随机过程Y的定义如下:dY=B*dB我们可以用两种方式离散化这个连续随机方程:(1)Y_k+1=Y_k+B_k*(B_k+1-B_k)(2)Y_k+1=Y_k+B_k+1*(B_k+1-B_k)也就是说,我们分别取每个小区间内的函数的左端值和右端值.对于通常的光滑函数的Riemann积分这无所谓,因为当区间大小趋于0时,两种方式给出同样的极限.为了方便对比,我们来考察两种方式下的平均值.(初条件Y_0=0,B_0=0.)(1)我们知道布朗运动是个Markov过程,也就是说每一次的位移不依赖过去的历史轨迹.所以我们有=0.所以=0.(2)这里要用到一个不是很难证明的事实:=mini,j.应用这个定理我们得到=1.所以=T.,2020/5/24,59,两个极限会差别如此之大,这是个很有趣的事实.它迫使我们必须指定每个区间内的函数取值的方法.事实上,取左端值,便是最常用的Ito积分.取中点值,便是Stratonovich积分.由于黎曼积分和Ito积分应用广泛，特列举它们的异同如下：1.因为w是随机变动的,所以黎曼和的极限不存在.因此在Itointegral中的最后一步是因为均方收敛而得到.2.Itointegral在定义积分式时,被积函数在小区间上只能取左端点,这与普通积分可任意取不同.3.Itointegral的结果通常不满足普通积分中的Newton-Leibniz公式。,2020/5/24,60,2020/5/24,61,2020/5/24,62,2020/5/24,63,两者关系,？,2020/5/24,64,2020/5/24,66,2020/5/24,67,HarryMarkowitzsharedtheNobelmemorialprizein1990withWilliamF.SharpeandMertonH.Miller.,MertonH.Miller,WilliamF.Sharpe,HarryM.Markowitz,fortheirpioneeringworkinthetheoryoffinancialeconomics,投资组合选择模型各种扩展研究,2020/5/24,68,选择多元化投资来分散风险，不是说要求投资于许许多多不同行业的证券。可分散的风险也就是非系统风险，它只对个别的证券产生影响，而对其它证券毫无影响。一般认为，一个组合的证券种类以10-15种最为适宜，即使是一些大型基金也无须超过25-35种。过度的分散化会增加交易成本、管理组合的时间和信息成本，可能得不偿失。,不要把所有的鸡蛋放在同一个篮子里,2020/5/24,69,Markowitz均值方差模型,expectedreturn:,variance:,Efficientfrontierofportfolio(0or0),2020/5/24,70,一般形式：,Efficientfrontierofportfolio(0w1),2020/5/24,71,期权定价研究,LouisJean-BaptisteAlphonseBachelier(March11,1870April28,1946)1wasaFrenchmathematicianattheturnofthe20thcentury.HeiscreditedwithbeingthefirstpersontomodelthestochasticprocessnowcalledBrownianmotion,whichwaspartofhisPhDthesisTheTheoryofSpeculation,(published1900).Histhesis,whichdiscussedtheuseofBrownianmotiontoevaluatestockoptions,ishistoricallythefirstpapertouseadvancedmathematicsinthestudyoffinance.Thus,Bachelierisconsideredapioneerinthestudyoffinancialmathematicsandstochasticprocesses.,2020/5/24,72,期权定价研究,此后，众多学者进一步对Bachelier模型进行修改和完善。1961年，Sprenkle(斯普里克尔)提出了“股票价格服从对数正态分布”的基本假设，并肯定了股价产生随机漂移的可能性。1964年，Boness(博内斯)将货币时间价值的概念引入期权定价过程，但他没有考虑期权和标的股票之间风险水平的差异。,2020/5/24,73,1965年，著名经济学家Samuelson对Bachelier的模型进行了修正，以股票的收益率代替原模型中的股票价格，修正模型克服了原模型中股票价格可能出现负值的不合理情况,期权定价研究,2020/5/24,74,保罗萨缪尔森,保罗萨缪尔森（PaulA.Samuelson，1915年5月15日2009年12月13日）:当代凯恩斯主义的集大成者,经济学的最后一个通才，美国诺贝尔经济学奖第一人,萨缪尔森是第一位获得诺贝尔经济学奖的美国经济学家，他的经典著作经济学以四十多种语言在全球销售超过四百万册，是全世界最畅销的教科书，影响了整整一代人。也正是他的这本著作，将西方经济学理论第一次系统地带进中国，并使这种思考方式和视野在中国落地生根。萨缪尔森在经济学领域中可以说是无处不在，被称为经济学界的最后一个通才。美联社当天在报道中总结萨缪尔森一生主要成就时说：他将数学分析方法引入经济学，帮助经济困境中上台的肯尼迪政府制定了著名的“肯尼迪减税方案”，并且写出了一部被数百万大学生奉为经典的教科书。萨缪尔森出身于一个经济学世家，他的侄子正是美国总统奥巴马首席经济顾问萨默斯，而兄弟罗伯特、妹妹安妮塔也都是知名经济学家。萨缪尔森自一九四0年以来一直就任于麻省理工学院,他的逝世令许多昔日学生和友人唏嘘不已。麻省理工学院校长苏珊霍克菲尔德十三日说：萨缪尔森“改变了他接触的一切”。,2020/5/24,75,他提出的定价公式中有两个量依赖于投资人的个人偏好，因此虽然这个定价公式很漂亮，但在实际交易中它是不能应用的。1969年，他又与其研究生Merton合作，提出了把期权价格作为标的股票价格的函数的思想。不过，这些模型几乎不具备任何实用价值，因为它们或多或少地包含一些主观的参数，如投资者个人对风险的态度、市场均衡价格等等。,期权定价研究,2020/5/24,76,罗伯特默顿于1944年出生于美国纽约。默顿的父亲罗伯特K.默顿（RobertK.Merton）是哥伦比亚大学著名的社会学家。默顿从小就对金融市场和交易有极大的兴趣，十岁时就买了他的第一个股票，十几岁时就进出于经纪公司。默顿小时候还对数学特别感兴趣。1966年默顿毕业于哥伦比亚大学工学院，并获工程数学学士学位。在哥伦比亚大学。默顿曾经上过楚才坤（音译Chia-kunChu）教授的热传导课，楚教授教会了他偏微分的方程和其他高深的数学理论。也正是在这位楚教授的鼓舞和推荐下，默顿大学毕业后去了加州理工学院攻读硕士学位。因为默顿在哥伦比亚大学时选修了许多研究生课程，所以在加州理工学院的第一年他就修完了所有必要的学分。在加州理工学院学习时，他仍然十分关注金融市场。他早上6：30就去一个经纪公司进行股票和场外期权的交易，直到8：30再去学院工作，在那里他形成了对金融市场交易过程的直觉，这种直觉对他今后从事的期权定价理论研究有莫大的帮助。,罗伯特默顿（RobertC.Merton，1944-),2020/5/24,77,默顿在期权定价理论和金融工程学上的研究成果极大的促进了全球金融衍生品市场的繁荣。默顿本人也是他的学术成就的受益者，1993年默顿与另外9人组成了一个名为“长期资本管理”的公司，该公司把布莱克-默顿-斯科尔斯二十年前创建的理论在实践中运用，公司成立三年，每年回报率高达40%，其中默顿分享的利润超过10亿美元。1997年他获得了诺贝尔经济学奖，这正是对他在期权定价理论方面作出的杰出贡献的肯定。,罗伯特默顿（RobertC.Merton，1944-),2020/5/24,78,1997年他获得了诺贝尔经济学奖，这正是对他在期权定价理论方面作出的杰出贡献的肯定。,罗伯特默顿（RobertC.Merton，1944-),2020/5/24,79,1997年他获得了诺贝尔经济学奖，这正是对他在期权定价理论方面作出的杰出贡献的肯定。,罗伯特默顿（RobertC.Merton，1944-),2020/5/24,80,期权定价研究,2020/5/24,81,期权定价研究,B-S公式的创新之处在于不依赖于投资人的个人偏好，它把所有投资人引向一个风险中性世界。由于其严密的逻辑、形式的优美及计算的简单，Black-Scholes模型在实践应用方面被广泛采用，为我们提供了有效的估算期权价值的工具，期权交易者可以通过理论模型来了解期权的定价机制。该模型为包括期权定价在内的金融衍生工具的定价研究开创了一个新的时代。这一定价模型现也成为交易商们所普遍使用的一个定价工具，极大地推动了衍生产品市场的深入发展。,2020/5/24,82,期权定价研究,随后，Merton(1973，1976)对Black-Scholes模型和定价公式进行了推广和完善，加入了Poisson跳跃扩散过程，他认为如果资产价格变化过程中的跳跃成分与整个市场无关的话，就属于可分散风险，可分散风险不应该获得期望收益。从而弥补了Black-Scholes模型中假设的股票价格连续性观点，并将他们利用期权来估价公司负债的思想发展成为所谓的“未定权益分析”。Merton进一步认为利用几何Brown运动描述只有系统风险的资产价格运动，用Poisson随机过程描述产生非系统风险的偶然的资产价格的跳跃，并且设跳跃幅度服从正态分布，通过求解随机方程可得出期权定价公式，使期权定价理论取得了突破性进展。Merton模型假设标的资产价格变化模式为：,2020/5/24,83,期权定价研究,从而Black、Scholes以及Merton三人共同开创的期权定价理论给整个现代金融市场的理论带来了一场革命，被誉为“华尔街的第二次革命”。此后，期权定价理论得到了飞速发展。到目前为止，期权家族已经发展成为拥有数千种不同形式的衍生证券，产生了许多新型期权。,2020/5/24,84,DarrellDuffie,JamesDarrellDuffieisaCanadianeconomist.HeistheDeanWitterDistinguishedProfessorofFinanceatStanfordGraduateSchoolofBusiness,andhasbeenonthefinancefacultyatStanfordsincereceivinghisPh.D.fromStanfordin1984.Heisconsideredbymanytobeoneofthemostinfluentialfinancialeconomistsofhisera.HeistheauthorofFuturesMarkets,DynamicAssetPricingTheoryandCreditRisk,withKennethSingleton.In2003,DuffiewasawardedtheSunGard/IAFEFinancialEngineeroftheYearAwardfromtheInternationalAssociationofFinancialEngineers.Hehasservedontheeditorialboardofmanyjournals,includingEconometrica.HeisalsoafellowoftheEconometricSociety.,2020/5/24,85,StevenS.GKou,寇星罡，英文名字是StevenS.GKou，是中科大87级数学本科，1991年就赴美留学，就读于哥伦比亚大学统计系，1995年获得统计学博士。此后他一直在美国大学执教，目前他是哥伦比亚大学TheFuFoundationSchoolofEngineeringandAppliedScience下面的IndustrialEngineeringandOperationsResearchDepartment的正教授，但是他研究的是金融工程，而且极为有名。StevenS.GKou做人极为低调，曾经谢绝了高盛(投行)数百万美元的高薪聘请，而甘愿苦守学术。,2020/5/24,86,SamuelKou,他的弟弟寇星昌也很牛，英文名字叫SamuelKou，1997年从北大数学系本科毕业，之后赴美留学，2001年获得斯坦福大学统计学博士，2001年至今在哈佛大学统计系执教，2008年33岁就成为正教授。统计学与的现实世界碰撞哈佛大学统计学教授及统计学系研究生院主任SamuelKou博士于2009年3月14日在德克萨斯Adt=1;y=0cumsum(dt0.5.*randn(1,n);%standardBrownianmotionplot(0:n,y);,Black-Scholes期权定价模型,2020/5/24,113,概述,Black、Scholes和Merton发现了看涨期权定价公式，Scholes和Merton也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖模型基本假设8个无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。标的股票不支付红利期权为欧式期权,2020/5/24,114,无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票对卖空没有任何限制标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗运动,2020/5/24,115,B-S模型证明思路,ITO引理,ITO过程,B-S微分方程,B-S买权定价公式,2020/5/24,116,维纳过程,根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性，这种特性可以采用Wienerprocess，它是Markovstochasticprocess的一种。对于随机变量w是Wienerprocess，必须具有两个条件：在某一小段时间t内，它的变动w与时段满足t,（13.1）,2.在两个不重叠的时段t和s,wt和ws是独立的，这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！,（13.2）,有效市场,2020/5/24,118,满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有,当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻到未来的T时刻）随机变量wt的满足,证明：,2020/5/24,120,在连续时间下，由（13.1）和（13.2）得到,（13.3）,（13.4）,所以，概率分布的性质,以上得到的随机过程，称为维纳过程。,2020/5/24,121,ITO定理,一般维纳过程(GeneralizedWienerprocess)可表示为,（13.5）,显然，一般维纳过程的性质为,2020/5/24,122,一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当,若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程,2020/5/24,123,B-S期权定价模型是根据ITO过程的特例几何布朗运动来代表股价的波动,省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程,（13.6）,证券的预期回报与其价格无关。,2020/5/24,124,ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO过程表示为（省略下标t）,令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可以代表以标的资产x的衍生证券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可以表示为,（13.7）,证明：将（13.7）离散化,由（13.1）知,利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)可以展开为,（13.8）,在连续时间下，即,因此，（13.8）可以改写为,（13.9）,从而,即x2不呈现随机波动！,（13.10）,由（13.10）可得,（13.11）,由（13.11）得到,（13.12）,由于x2不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即,当t0时，由（13.9）可得,B-S微分方程,假设标的资产价格变动过程满足,这里S为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可由ITO引理近似为,2020/5/24,131,假设某投资者以份的标的资产多头和1个单位的衍生证券空头来构造一个组合，且满足,则该组合的收益为,2020/5/24,132,下面将证明该组合为无风险组合，在t时间区间内收益为,注意到此时不含有随机项w，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为r，且由于t较小（不采用连续复利），则,整理得到,B-S微分方程的意义,衍生证券的价格f，只与当前的市价S，时间t，证券价格波动率和无风险利率r有关，它们全都是客观变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对f的值产生影响。在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微分方程求出价格f。,2020/5/24,135,若股票价格服从几何布朗运动,设当前时刻为t，则T时刻股票价格满足对数正态分布，即,几何布朗运动与对数正态分布,2020/5/24,136,令,则,这样由伊藤引理得到,即,2020/5/24,137,由（13.1）,2020/5/24,138,则称ST服从对数正态分布，其期望值为,所以,2020/5/24,139,B-S买权定价公式,对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权（买权）的在定价日t的定价公式为,2020/5/24,140,（1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t的股票价格为St,则T时刻的股票价格的期望值为,B-S买权定价公式推导,（13.13）,2020/5/24,141,（13.14）,由（13.13）和（13.14）得到,（13.15）,根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性条件下，则资产的期望回报为无风险回报，则,这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。,2020/5/24,142,（2）在风险中性的条件下，任何资产的贴现率为无风险利率r，故买权期望值的现值为,（13.16）,2020/5/24,143,由于ST服从对数正态分布，其pdf为,（13.17）,第1项,第2项,2020/5/24,144,（3）化简（13.17）中的第1、2项，先化简第1项,（13.18）,当前时刻价格，不是变量,2020/5/24,145,（13.19）,2020/5/24,146,将（13.19）与（13.18）内的第2个指数项合并，即,（13.20）,2020/5/24,147,将（13.20）代入（13.18）,下面，将利用变量代换来简化（13.21），不妨令,（13.21）,2020/5/24,148,2020/5/24,149,y的积分下限为,y的积分上限为,2020/5/24,150,将dy与y代入（13.21），即有,这样就完成了第1项的证明。,（13.22）,2020/5/24,151,下面证明B-S公式中的第2项，,首先进行变量代换，令,2020/5/24,152,则z的积分下限,z的积分上限,2020/5/24,153,将z和dz代入,（13.23）,2020/5/24,154,则由（13.22）和（13.23）得到,其中,2020/5/24,155,例如:当d1.96时,N(d)913.5%,2020/5/24,156,B-S买权公式的意义,N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率。e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。SN(d1)=e-r(T-t)STN(