Sw1.基本概念ppt课件

.,Sw1.基本概念,.,以前的前期课程中相关部分：1.关于二阶常微分方程的结论2.傅立叶级数相关理论3.线性代数中“基”理论4.矩阵及其对角化的实质5.大学物理6.场论基础,.,1.偏微分方程的一些基本概念,1.偏微分方程2.偏微分方程的阶3.偏微分方程的解4.线性偏微分方程5.齐次偏微分方程,.,1.偏微分方程,含有某未知函数及其偏导数的等式称为偏微分方程许多物理规律.过程.状态都可以用偏微分方程来描述许多不同的物理规律.过程.状态都可以用同一个偏微分方程来描述自变量的个数多于一个,.,偏微分方程的例子:,.,2.偏微分方程的阶,一个偏微分方程中所含偏导数的最高阶数称为该偏微分方程的阶例如:,.,3.线性偏微分方程,若一个偏微分方程对其所含所含的未知函数及其偏导数都是一次的,称该偏微分方程为线性偏微分方程.例如:,.,4.齐次偏微分方程,本课程只着重研究24个自变量的二阶常系数线性偏微分方程.它的一般形式是:,.,5.偏微分方程的解,任何一个在自变量的某变化区域内满足方程(即代入方程后使之成为恒等式)的函数称为方程的一个解.解的不唯一性,.,*,.,6.高维和低维的关系,不是高维的结果去掉一个变量就变成低维的结果.高维和低维的关系必须依据严格的理论来建立.,.,7.练习：,.,.,.,8.三个典型方程,1)在数学物理方程中，最常见的方程是下面三个二阶常系数线性偏微分方程：,.,其中：,.,2）许多运动的物理性质尽管各不相同，但从数量关系上常常可用上述三个方程之一来描写：波动方程：声波的传播；弹性体的振动；电磁波的传播扩散方程：热传导；由于浓度不均匀造成的扩散；场能量、动量的转移泊松方程：温度的稳恒分布；静电势的分布,.,3）发展方程：,.,4）稳定方程：,.,5）数学物理方程中的方程众多，但是有很大一部分可以化成这三类方程或者可以用解这三类方程的方法来处理。另外，这三个方程分别代表了数理方程中的三大类型（椭圆型方程，双曲型方程，抛物型方程），解决它们的方法在数学物理方程中是非常典型和重要的，我们在今后会详细讨论。,.,2.数学物理方程的导出,1.理想弦的微小横振动方程理想弦理想弦是指具有下列性质的弹性物质细线:*横截面的直径长度*弦可以任意地变形*弦绷紧时,无论它处于什么位置,内部的张力总是沿着切线方向,.,.,物理系统*线密度为r(x)的弦,在张力T的作用下处于平衡态(绷紧).*平衡位置与轴重合.*该弦受到某种扰动而开始在它的平衡位置附近振动.,.,理想化假设,为简化讨论,做如下理想化假设:*弦的运动完全在某一包含x轴的x-u平面内进行,u轴垂直于x轴并且在振动的过程中弦上各点做横u方向(沿u方向u方向)弦上各点沿x方向的位移沿u方向的位移因而,弦上各点沿x方向的位移可以忽略,我们用t时刻弦上坐标为x的点在u方向的位移u(x,t)作为描述弦的运动的物理量.,.,*弦的运动很微小.微小的意义:u,ux的绝对值都远小于1*弦受到的外力垂直于x轴,*力的分布密度(单位长度的弦受到的力)为g(x,t),.,弦振动方程推导图：,.,对如图微元：,.,牛顿第二定律：,.,.,.,.,.,.,理想弦的微小横振动方程(一维波动方程):,.,2.电报方程,1）电报方程是电流沿电缆传输时所应满足的方程。因为输电的本质是电磁波的传播，所以研究传输过程应使用Maxwell方程组。但是这样在数学上比较麻烦。在电工学中，通常是在一些理想化假设下利用基尔霍夫（Kirchhoff)定律导出电报方程。,.,2）考虑两条平行的传输线（沿x方向），电流i和电压u都是位置x和时间t的函数。3)假定：导线的各参数都是均匀分布的，记：R为单位长度导线上的电阻L为单位长度导线上的自感系数G为单位长度导线上的漏电系数C为单位长度导线上的电容系数,单位时间内导线上一点电量的损失与该点得电压成正比周围介质对电磁振荡的影响小到可以忽略不计,.,传输线图：,.,传输线微元图：,.,传输线微元分析图：,.,4）基本方程：,注意到下面一根线是零线（理想），其内无电流。基尔霍夫第一定律：物理量的规定：,.,.,.,基尔霍夫第二定律：,这段导线上的电位差：,.,这样，我们得到方程组：,.,做如下运算：,.,解此方程组，得到电报方程：,.,理想情形下，电报方程的形式：,.,由此可见：,理想情形下，电报方程与弦的自由振动方程相同。不同的物理过程可能满足相同的方程，因此对物理方程进行细致的讨论具有十分重要的意义；类比的思想方法也具有十分重要的意义。,.,3.电荷守恒律,.,附：的运算对r的运算广义积分公式,.,4.热传导方程,热传导现象：如果一个物体内，各点的温度不全相同，实验证明，在物体内有热量传播，而且热量是由温度高处流向温度低处。,.,热传导方程的导出：,考虑体积V(包面为S)内的温度u(x,y,z,t)的空间分布及随着时间的变化规律.,.,.,.,.,.,.,6)拉普拉斯方程和泊松方程,.,7)一维热传导方程,现在考虑各向同性的均匀细杆的热传导问题。取细杆的方向为x轴，设在每一个垂直于x轴的断面上温度相同，细杆的侧表面与周围介质没有热交换，且在杆内无热源，这时温度只是坐标x和时间t的函数u(x,t),因而ux=uy=0,.,这样就得到一维热传导方程：,.,8）三维到一维的过渡：,二维场：二维场（平面场）是一种特定的空间场，只是由于某种对称性的考虑，用一平面上各点的场分布就能代表空间的场分布。,.,一维场：与前述二维场的情形相同，对一维热传导问题也不能简单地认为它是描写热在直线上的传播。如前描述的均匀细杆上的热传导，也是一种特殊的空间场，用一条直线上的温度分布就可以代表整个空间的温度分布。以后关于直线或平面上的问题的类似情形，均应这样理解。,.,这里说的是对场的物理描述，所谓的一维场和二维场，只不过是具有对称性三维场的特殊情形，它们有着更多的讨论空间，比如对称性给我们带来的好处及其利用等。在数学上，如何从三维到二维、一维，也有着严格的计算方法，绝不只是把三个坐标去掉一个或两个那么简单。,.,5.扩散方程,1）这里描述无外力作用下的自然扩散。酒精的扩散无风时饭菜香味的传播这种扩散产生的原因是由于扩散物质的浓度不均匀，物质就会从浓度大的地方转移到浓度小的地方，这种物质的转移就称为扩散。,.,产生自然扩散的动力学原因是分子的热运动，这与在外力的作用下的物体的运动完全不同。如香味、酒精味在风吹的情况下的传播就不是自然扩散。因此，自然扩散描述的是物质分子的热运动状态的集体行为，在外力的作用下的物质的运动则需要考虑的更多，要采用如牛顿定律、量子力学之类的方程去描述粒子的动力学行为。,.,固体中的扩散,制作半导体器件就常用扩散的方法。把含有所需杂质的物质涂在硅表面上，或用携带杂质的物质气体包围着硅片，杂质就向硅内扩散。自然扩散形成的这种渗透相对于外力作用下形成的渗透要均匀的多，更有利于产生我们所需的半导体的性质。,.,2）扩散定律,扩散流强度扩散流强度是一个矢量，其大小为：单位时间内流过单位横截面积得“原子数”称为扩散流强度。其方向为粒子流动的方向。“原子数”：可能是具体的粒子数，亦可能是能量、动量等。,.,扩散定律：沿x方向的扩散设粒子的浓度为u,沿x方向的扩散流强度为q1,则：*q1ux*扩散方向：若ux0,即沿x方向浓度升高，则扩散沿x负方向进行,.,因此，可以将此情形描述为：,.,(2)三维扩散,.,(3)各向均匀扩散,.,穿过某面的粒子数,.,3）扩散方程,.,考虑如图区域，若域内无源，由粒子数守恒，有,.,化成微分形式：,.,一维扩散方程：,.,6.静电场的场位方程,.,静电势满足泊松方程,.,无源区域的静电势满足Laplace方程,.,7.自由电磁波方程8.Helmholtz方程9.Schodinger方程梁昆淼:数学物理方法郭敦仁:数学物理方法,.,3.定解问题,1.科学:一门学科被称为科学它必须具有:可重复性可描述性可控制性可利用性数学是这些性质的强有力的表示工具.,.,2.数学物理方程,数学物理方程就是物理规律的数学表示.物理量随着时间的演化:_用对时间的导数表示物理量随着空间的分布:_用对坐标的导数表示物理量随着时间的演化和随着空间的分布之间的关系称为物理规律.物理规律的数学表示称为数学物理方程.,.,3.泛定方程,1)物理规律:物理规律是描述物理现象的基础.在不同的情形下,物理规律的表现形式是不同的(尽管其物理本质是不变的).如:质点,连续介质,力学的,电学的,等等.本课程无意讨论在不同的情形下,物理规律的不同的表现形式.只是讨论物理规律的数学特征.,.,本课程感性趣的是:物理规律的数学形态.对于某一物理系统,其物理性质大致描述如下:*系统的内部.*系统的边界*系统内部的连续无突变部分*系统内部的不连续有突变的点在不同的的情形下,物理规律的表现形式不同.,.,对系统内部的连续无突变部分,场量在这样的区域内连续且导数存在.物理规律此时表现为该场量对不同的变量(坐标和时间)的导数之间的关系,这样的关系式我们把它称之为泛定方程.例如:*波动方程*扩散方程*拉普拉斯方程数学上,常见的物理上的泛定方程不是很多.,.,4.边界条件,在物理系统的边界附近,一般来说,物理量是不连续的,总是存在着这样那样的突变.而这种突变反映的是物理系统和外界的相互作用.反映物理系统和外界的相互作用的数学表达式就是数学物理方程中的边界条件.,.,泛定方程和边界条件的简单讨论:泛定方程反映的是物理量随着空间的分布和随着时间的演化,它反映的是这一类物理量的共性.一般说来不会随着具体系统而变化.边界条件反映的是系统与外界的相互作用.外界的情况不同,边界条件的形式当然也不会相同.因此,针对不同的外界,会出现形形色色的边界条件.,.,5.自然边界条件,自然边界条件出现的物理原因和数学原因.自然边界条件的出现在数学上大都由于坐标系的选择的原因，使得原本正常的点变得特殊起来。如坐标原点处，r=0,1/r。对这些特殊的点（坐标原点，坐标轴上的点，无穷远处）便产生了自然边界条件。,.,自然边界条件产生的物理原因是由于我们对物理系统进行的过分的理想化，从而造成了理想源处场的奇异性。对这些奇异性的描述便产生了自然边界条件。,.,6.衔接条件,在系统内部,由于系统在空间上的不均匀性及其某些物理性质的突变,会造成物理量的不连续性或不可导.在这种地方泛定方程就无法进行有效的描述.在物理量不连续或有突变的地方附近,物理量的性质的表述称为衔接条件.,.,7.初始条件,力学中,大家已经对初始条件已经有了足够的理解.当物理量随着时间演化时,系统的“历史”对于其演化是起着重要作用的.而前一时刻系统的状态一旦给定,系统以后的状态也随之确定.因此,欲描述系统,必须知道系统的某一时刻的状态对系统的某一时刻的状态的描述称为初始条件.,.,8.定解问题,由面的讨论知道,欲确定的描述系统,必须确定地给出:描述物理量随着空间和时间的演化规律(泛定方程)系统在过去某一时刻的状态的完整描述(初始条件)系统与外界的相互作用的完整描述(边界条件)系统在空间上的不均匀性,所造成物理量的不连续性或突变的完整描述(衔接条件).,.,+构成的对系统的数学描述称为定解条件.+构成的对系统的数学描述称为定解问题.,.,4.定解条件例,1.弦振动方程的固定端点条件:对于前面的弦振动系统,选如前坐标及规定:若弦长为L,其两端点分别固定于x=0,x=L处,则边界条件可写为:u(0,t)=u(L,t)=0,.,2.弦振动方程的弹性端点条件:考虑棒的纵振动.棒的截面积为S.有一x方向的力F作用在棒之右端.,.,取如图微元,微元之左端受到其余棒的弹性应力P.根据牛顿定律,有:,.,.,.,iii)杆的弹性固接,.,.,3.例例:长为L的杆,上端固定在电梯天花板上,杆身竖直,下端自由.当电梯下降到速度V时,突然停止.写出定解条件.,.,例:长为L的杆,上端固定在电梯天花板上,杆身竖直,下端自由.当电梯下降到速度V时,突然停止.写出定解条件.解:坐标系边界条件:初始条件:,.,例:长为L的均匀弦,两端固定.弦中张力为T0.在x=h处以横向力F0拉弦.达到稳定时,放手让其自由振动.写出定解条件.,.,例:长为L的均匀弦,两端固定.弦中张力为T0.在x=h处以横向力F0拉弦.达到稳定时,放手让其自由振动.写出定解条件.解:如图.坐标系边界条件:初始条件:,.,利用力平衡条件:,.,.,3.热传导问题的边界条件:系统与热源相接触(第一类边界条件):“热源”的性质:温度恒定.热容量为无穷大.因此,系统与热源相接触时,系统的表面温度u与热源的温度T0相等.此时有:,.,系统与热库相接触(第三类边界条件):“热库”的性质:无温度特征之规定.辐射出恒定的热流M.热流M的规定:M称为热流强度.M是单位时间内通过单位横截面积辐射出的热量.,.,热流M的规定:M称为热流强度.M是单位时间内通过单位横截面积辐射出的热量.但是,热流的存在并不一定可以保证该热流被吸收.这一方面取决于热库的热流,另一方面取决于物体表面的性质.因此,讨论热库与物体的热相互作用时,所用的M不是热库的热流,而是热库与物体的热相互作用时的有效热流.例如,物体表面绝热时,热量无法进入物体表面,热库形同不存在,此时应视为M=0.,.,Fourier定律(热传导定律):单位时间内,沿着n方向流过单位横截面积的热量为:Newton定律(自由冷却定律):在温