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文档简介

,二、连续与间断,一、函数,三、极限,习题课,函数与极限,第一章,一、函数,1.概念,定义:,定义域,值域,图形:,(一般为曲线),设,函数为特殊的映射:,其中,2.特性,有界性,单调性,奇偶性,周期性,3.反函数,设函数,为单射,反函数为其逆映射,4.复合函数,给定函数链,则复合函数为,5.初等函数,有限个常数及基本初等函数,经有限次四则运算与,复合而成的一个表达式的函数.,思考与练习,1.下列各组函数是否相同?为什么?,相同,相同,相同,2.下列各种关系式表示的y是否为x的函数?为什么?,不是,是,不是,提示:(2),3.下列函数是否为初等函数?为什么?,以上各函数都是初等函数.,4.设,求,及其定义域.,5.已知,求,6.设,求,由,得,4.解:,5.已知,求,解:,6.设,求,解:,解:,利用函数表示与变量字母的无关的特性.,代入原方程得,代入上式得,设,其中,，求,令,即,即,令,即,画线三式联立,即,例1.,二、连续与间断,1.函数连续的等价形式,有,2.函数间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,有界定理;,最值定理;,零点定理;,介值定理.,3.闭区间上连续函数的性质,例2.设函数,在x=0连续,则a=,b=.,提示:,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点,极限存在,例3.设函数,试确定常数a及b.,例4.设f(x)定义在区间,上,若f(x)在,连续,提示:,阅读与练习,且对任意实数,证明f(x)对一切x都连续.,P65题1,3(2);P74题*6,证:,P74题*6.证明:若,令,则给定,当,时,有,又,根据有界性定理,使,取,则,在,内连续,存在,则,必在,内有界.,上连续,且恒为正,例5.设,在,对任意的,必存在一点,证:,使,令,则,使,故由零点定理知,存在,即,证明:,即,上连续,且acdb,例6.设,在,必有一点,证:,使,即,由介值定理,证明:,故,即,三、极限,1.极限定义的等价形式,(以为例),(即为无穷小),有,2.极限存在准则及极限运算法则,3.无穷小,无穷小的性质;,无穷小的比较;,常用等价无穷小:,4.两个重要极限,6.判断极限不存在的方法,5.求极限的基本方法,或,例7.求下列极限：,提示:,令,则有,复习:若,例8.确定常数a,b,使,解:原式可变形为,故,于是,而,例9.当,时,是,的几阶无穷小?,解:设其为x的k阶无穷小,则,因,故,阅读与练习,1.求,的间断点,并判别其类型.,解:,x=1为第一类可去间断点,x=1为第二类无穷间断点,x=0为第一类跳跃间断点,2.求,解:,原式=1,(2000考研),注意此项含绝对值,作业
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