高中数学培优辅导专题2： 函数零点问题

专题二 函数零点问题函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰富的数形结合思想诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐多样化，备受青睐模块1 整理方法 提升能力对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）其中以一平一曲的情况最为常见分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数的图象与轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数函数的凸性1下凸函数定义 设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点，总有，当且仅当时取等号，则称为上的下凸函数2上凸函数定义 设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点，总有，当且仅当时取等号，则称为上的上凸函数3下凸函数相关定理定理：设函数为区间上的可导函数，则为上的下凸函数为上的递增函数且不在的任一子区间上恒为零4上凸函数相关定理定理：设函数为区间上的可导函数，则为上的上凸函数为上的递减函数且不在的任一子区间上恒为零例1已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解析】（1），当时，所以，所以在上递减当时，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增（2）法1：当时，由（1）可知，在上递减，不可能有两个零点当时，令，则，所以在上递增，而，所以当时，从而没有两个零点当时，于是在上有个零点；因为，且，所以在上有个零点综上所述，的取值范围为法2：令，则，令，则，所以在上递增，而，所以当时，当时，于是当时，当时，所以在上递增，在上递减，当时，当时，若有两个零点，则与有两个交点，所以的取值范围是法3：设，则，于是，令，则，令，则，所以在上递增，而，所以当时，当时，所以在上递增，在上递减，当时，当时，若有两个零点，则与有两个交点，所以的取值范围是法4：设，则，于是令，则有两个零点等价于与有两个交点因为，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减，当时，是斜率为，过定点的直线当与相切的时候，设切点，则有，消去和，可得，即，即令，显然是增函数，且，于是，此时切点，斜率所以当与有两个交点时，所以的取值范围是法5：，令，则有两个零点与的图象有两个不同交点，所以两个函数图象有一个交点令，则，由可得，由可得，于是在上递减，在上递增，而，所以，因此与相切于点，除切点外，的图象总在图象的上方由（1）可知，当时，将图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的倍，就得到了的图象，此时与的图象没有交点当时，的图象就是的图象，此时与的图象只有1个交点当时，将图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的倍，就得到了的图象，此时与的图象有两个不同交点综上所述，的取值范围是法6：，令，则有两个零点与的图象有两个不同交点，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减，当时，由（1）可知，所以是下凸函数，而是上凸函数当与相切时，设切点为，则有，消去，可得，即，即令，显然是增函数，而，于是，此时切点，所以当与的图象有两个交点时，所以的取值范围是【点评】函数零点问题，其解题策略是转化为两个函数图象的交点，三种方式中（一平一曲、一斜一曲、两曲）最为常见的是一平一曲法1是直接考虑函数的图象与轴的交点情况，法2是分离参数法，法3用了换元，3种方法的本质都是一平一曲，其中法3将指数换成了对数，虽然没有比法2简单，但是也提示我们某些函数或许可以通过换元，降低函数的解决难度法4是一斜一曲情况，直线与曲线相切时的值是一个重要的分界值法5和法6都是两曲的情况，但法6比法5要简单，其原因在于法5的两曲凸性相同而法6的两曲凸性相反函数零点问题对函数图象说明的要求很高，如解法2当中的是先增后减且极大值，但和的状态会影响的取值范围，所以必须要说清楚两个趋势的情况，才能得到最终的答案例2设函数设，（1）求；（2）证明：在内有且仅有一个零点（记为），且【解析】（1）因为，所以由，得，所以【证明】（2）因为，由零点存在性定理可知在内至少存在一个零点又因为，所以在内递增，因此在内有且只有一个零点由于，所以，由此可得，即因为，所以，所以，所以【点评】当函数满足两个条件：连续不断，则可由零点存在性定理得到函数在上至少有1个零点零点存在性定理是高中阶段一个比较弱的定理，首先，该定理的两个条件缺一不可，其次，就算满足两个条件，也只能得到有零点的结论，究竟有多少个零点，也不确定零点存在性定理常与单调性综合使用，这是处理函数零点问题的一种方法例3已知函数（1）设是的极值点，求，并讨论的单调性；（2）当时，证明：【解析】（1），由是的极值点，可得，解得于是，定义域为，则，所以在上递增，又因为，所以当时，当时，所以在上递减，在上递增【证明】（2）法1：定义域为，于是在上递增又因为当时，当时，所以在上有唯一的实根，当时，当时，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值由可得，即，于是当时，；当时，等号成立的条件是，但显然，所以等号不成立，即综上所述，当时，法2：当，时，于是，所以只要证明，就能证明当时，于是在上递增又因为，所以在上有唯一的实根，且当时，当时，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值由可得，即于是，于是综上所述，当时，法3：当，时，于是，所以只要证明（），就能证明当时，由（）可得（），又因为（），且两个不等号不能同时成立，所以，即（），所以当时，【点评】法1与法2中出现的的具体数值是无法求解的，只能求出其范围，我们把这种零点称为“隐性零点”法2比法1简单，这是因为利用了函数单调性将命题加强为，转化为研究一个特例函数的问题，从而大大降低了题目的难度法2中，因为的表达式涉及、，都是超越式，所以的值不好计算，由此，需要对“隐性零点”满足的式子进行变形，得到两个式子和，然后进行反代，从而将超越式转化为初等式“反代”是处理“隐性零点”问题的常用策略法3使用了与、有关的常用不等式，证明过程相当快捷简单由于，且、的凸性相反，因此我们可以寻找两个函数的公切线实现隔离放缩，事实上，就是、两个函数的公切线（不等式证明问题详见专题四）模块2 练习巩固 整合提升练习1：设函数（1）讨论的导函数的零点的个数；（2）证明：当时，【解析】（1）的定义域为，的零点的个数的根的个数与在上的交点的个数因为，所以在上递增，又因为，时，所以当时，与没有交点，当时，与有一个交点综上所述，当时，的零点个数为，当时，的零点个数为【证明】（2）由（1）可知，在上有唯一的零点，当时，当时，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，且最小值为因为，所以，所以练习2：设函数（为常数，是自然对数的底数）（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围【解析】（1）函数的定义域为，当时，所以当时，当时，所以的递减区间为，递增区间为（2）函数在内存在两个极值点在内有两个不同的根法1：问题在内有两个不同的根设，则当时，所以在上递增，所以在内不存在两个不同的根当时，由可得，由可得，所以的最小值为在内有两个不同的根，解得综上所述，的取值范围为法2：问题在内有两个不同的根与在内有两个不同的交点，当时，当时，当时，画出在内的图象，可知要使与在内有两个不同的交点，的取值范围为练习3：已知函数和，直线：过点且与曲线相切（1）求切线的方程；（2）若不等式恒成立，求的最大值；（3）设，若函数有唯一零点，求证：【解析】（1）设直线与函数相切于点，则切线方程为，即，因为切线过点，所以，解得，所以切线的方程为（2）设，当时，当时，所以在时取极