肇庆市2020届高中毕业班第二次统一检测理科数学试卷含答案

试卷类型：A肇庆市2020届高中毕业班第二次统一检测理科数学注意事项：1答题前，考生务必将自己的学校、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔在答题卡上书写作答。在试题卷上作答，答案无效。3考试结束。监考人员将试卷、答题卷一并收回。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则A B C D2设复数满足，则在复平面内对应的点为，则A. B. C. D. 3下列函数为奇函数的是A. B C D4袋中共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个白球，个红球从袋中任取个球，所取的个球中恰有个白球，个红球的概率为A. B. C. D. 5等差数列，的第四项等于A. B. C. D . 6展开式中的常数项为A B C D7已知是两条不同的直线，平面，则“”是“”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件8执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为A B C D 9已知为自然对数的底数，设函数，则A. 当时，在处取得极小值 B. 当时，在处取得极大值 C. 当时，在处取得极小值 D. 当时，在处取得极大值 10抛物线方程为，动点的坐标为，若过点可以作直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为A B C D11已知函数为定义城为的偶函数，且满足，当时，则函数在区间上零点的个数为A B C D12已知函数，则下述结论中错误的是A. 若在有且仅有个零点，则在有且仅有个极小值点 B. 若在有且仅有个零点，则在上单调递增 C. 若在有且仅有个零点，则的范围是D. 若图像关于对称，且在单调，则的最大值为第II卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量，若则 .14记为等比数列的前项和，若，则 .15已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为_.16在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，过点与直线垂直的平面交直线于点，则三棱锥的外接球的表面积为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）已知在中，角对应的边分别为，（1） 求角；（2） 若，的面积为，求18.（本小题满分12分）某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测现从该生产线上随机抽取件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数，标准差，绘制如图所示的频率分布直方图以频率值作为概率估计值（1）从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为，依据以下不等式评判(表示对应事件的概率)：，评判规则：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；（2）将数据不在内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取件，次品数记为，求的分布列与数学期望19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点.（1）证明：平面；（2）若面与面所成二面角的大小为，求与面所成角的正弦值20.（本小题满分12分）已知椭圆的短半轴长为，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交椭圆于点，证明：是直角三角形21.（本小题满分12分）设函数.（1）讨论的单调区间；（2）证明：若，对任意的，有请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）， 在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点的直角坐标为，求直线的斜率.（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲设函数，（实数） （1）当，求不等式的解集；来源X（2）求证：.2020届高中毕业班第二次统一检测题理科数学参考答案及评分标准一、选择题题号123456789101112答案DBDBBCBCCAAB二、填空题13 14 或 15 16 三、解答题（17）（本小题满分10分）解：（1）由及正弦定理可得 （2分）由余弦定理可得 （4分）又因为，所以 （6分）（2）因为 （8分）所以. （9分）又因为，所以是等边三角形，所以 （12分）（18）（本小题满分12分）（1）由频率分布直方图可得： （1分） （2分） （3分）由上述可知：符合，不符合，故该生产线需要检修 （5分）（2）由（1）知所以从该生产线加工的产品中任意抽取一件次品的概率为且， （7分）所以 （10分）分布列如下（或） （12分）（19）（本小题满分12分）（1）证明：连接交于，则是的中点，连接， （1分）则是的中位线，所以， （2分）有因为， 所以平面 （4分）（2）法一：如图以为原点，方向分别为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系。设，则，设，则，又，即，解得 （6分）设是平面的一个法向量，则即，方程的一组解为 （8分）显然是面的一个法向量，依题意有，得，结合式得 （10分）因为底面，所以是与面所成的角， （12分）（2）法二：如图以为原点，方向分别为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系。设，则，因为，所以， （6分）又因为，所以面，所以是平面的一个法向量， （8分）显然是面的一个法向量，依题意有，解得 （10分）因为底面，所以是与面所成的角， （12分）（2）法三：因为面，所以，又，所以，又，所以因为，是的中点，所以， （6分）所以，所以又因为，所以面，所以是平面的一个法向量， （8分）显然是面的一个法向量，依题意有，解得 （10分）因为底面，所以是与面所成的角， （12分）（20）（本小题满分12分）解：（1）依题意可得，所以，得，所以椭圆的方程是 （3分）（2）法一：设，则，直线的方程为， （4分）与联立得 ， （6分）因为，是方程的两个解，所以 （7分）又因为，所以，代入直线方程得 （9分） （11分）所以，即是直角三角形. （12分） （2）法二：设，则，设直线的方程为， （4分）与联立得 （6分） （7分） （9分）， （10分） 所以 （11分）所以，即是直角三角形. （12分） （2）法三：设，则，设，则 （5分） 因为，在椭圆上，满足椭圆方程，所以 （9分）所以， （10分）所以 （11分）所以，即是直角三角形. （12分） （21）（本小题满分12分）解：（1） （1分）令当时，即时，恒成立，所以的单调增区间是，无减区间. （2分）当时，即或，设的两个零点为，若，因为，所以都大于0，所以当时，单调递增当时，单调递减当时，单调递增 （3分）若，当即时，都不为正数，所以当时，单调递增. （4分）当时，即时，所以当时，单调递减当时，单调递增. （5分）综上所述，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为，当时，的单调增区间是，无减区间.当时，的单调递减区间为的单调递增区间为， （6分）（2）不妨设，要证明，只需证明，只需证明令 （8分）因为，所以， （11分）在是增函数，所以时，即 （12分）（22）（本小题满分10分）解：（1）当时，的普通方程为； （1分）当时，的普通方程为，即 （或者直接得出） （3分）由得即 （5分）（2）将代入整理得 （7分）依题意得，即，即 （9分）