第4章 矩阵的广义逆.ppt

第4章矩阵的广义逆,的形式,广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，这种推广的必要性，是线性方程组的求解问题的实际需要，设有线性方程组,1920年穆尔（Moore）首先提出了广义逆矩阵的概念，但其后的30年未引起人们的重视直到1955年彭诺斯（Penrose）利用四个矩阵方程给出了广义逆矩阵的新的更简便实用的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，其理论和应用得到了迅速发展，已成为矩阵论的一个重要分支，广义逆矩阵在数理统计、最优化理论、控制理论、系统识别、数字图象处理等许多领域都具有重要应用,1,第4章矩阵的广义逆,4.1Moore-Penrose广义逆矩阵,4.2广义逆矩阵,4.3广义逆矩阵A1,2,4.4广义逆矩阵A1,3,4.5广义逆矩阵A1,4,4.6M-P广义逆矩阵,4.7广义逆在解线性方程组中的应用,4.8几种计算的直接方法,2,线性方程组一般理论复习,定理A:线性方程组Ax=b,ACnn,x,bCn对任意右端b都有唯一解的充要条件是A-1存在.证:必要性令Ax(i)=ei,i=1,n,X=(x(1),x(n)Cnn其中ei为En的第i列(今后将常用此记号)则AX=(Ax(1),Ax(n)=(e1,en)=EnA-1=X.充分性若A-1存在,则对任意右端bAx=bx=A-1b即x=A-1b是线性方程组Ax=b的唯一解.,本章着重介绍广义逆矩阵的概念、性质、计算方法和应用,3,减号逆,若一般线性方程组Ax=b,ACmn,xCn,bCm(1)对任意bR(A)的解都可表示为x=A-b,则矩阵A-Cnm称为A的一个减号逆.因为当ACnnn时,(1)的解都可表示为x=A-1b,所以,在此情形下A有唯一减号逆:A-=A-1.这一事实说明减号逆是普通逆矩阵的推广.,4,减号逆举例,例:A=C23有下列两个实质不同的减号逆:A-=或证:易见两种情形都有AA-=E2,从而,对任意bC2,AA-b=bAx=b有解x=A-bC2即对任意bR(A)=C2,Ax=b的解都可表示为x=A-b所以,这两个A-都是A的减号逆.注:此例说明减号逆一般不唯一.,5,矩阵的单边逆,6,命题1,（2）同理可证,7,推论,初等变换求左(右)逆矩阵:,8,9,例1,解,10,例2,解,4.1Moore-Penrose广义逆矩阵,4.1.1广义逆矩阵的基本概念,，满足,（1）,（2）,（3）,（4）,定义1,11,4个方程的全部或一部分，则称G为A的一个广义逆矩阵，并把上面4个方程叫做穆尔-彭诺斯（M-P）方程进一步，如果G满足M-P的4个方程式，则G称为A的穆尔-彭诺斯广义逆，记为，一般地，如果G满足4个M-P方程式中的第个，则称G为A的一种弱逆，记为,12,（2）满足方程（1）与（2）的广义逆矩阵类记为,其中任意一个确定的广义逆，称为自反减号逆，记为,（3）满足方程（1）与（3）的广义逆矩阵类记为,其中任意一个确定的广义逆，称为最小范数广义逆，记为,（4）满足方程（1）与（4）的广义逆矩阵类记为,其中任意一个确定的广义逆，称为最小二乘广义逆，记为,（5）满足全部4个M-P方程的广义逆矩阵类记为,下面分别介绍这5类广义逆矩阵.,13,问题的引入,4.2广义逆矩阵,则一定是解，那么称是的一种广义逆。,定理1,14,定理1,15,4.2.1广义逆的定义和构造,16,显然，减号广义逆不唯一，并且减号逆是普通逆矩阵的推广,17,所以,所以,反过来，对任意的,，若满足,18,的任意矩阵由于,19,故,所以，,20,由例2可知：,注意到：,对矩阵,进行初等变换，E的位置记录了对A进行变换的过程,说明：1.（*）式实际上是A的秩分解。2.定理2告诉我们的一般形式，从而告诉我们有解方程组AX=b的一般解。,21,22,23,，,24,的一个减号逆：,25,定理3,定理4,4.2.2广义逆的性质,故,同理,32,4.3广义逆矩阵A1,2,33,（自反广义逆）,4.3.1广义逆A1,2的定义及存在性,34,结论成立,4.3.2广义逆A1,2的性质,证明充分性法一,定理7,37,定理10,定理11,41,10,11,定理12,定义6,42,4.3.3广义逆A1,2的构造,定理13,43,44,45,46,解因为,47,解因为,48,解因为,49,故,50,4.4广义逆矩阵A1,3,4.4.1广义逆A1,4的定义和构造,51,即得,52,从而,的最小二乘广义逆其次证明对任意的最小二乘广义逆,所以,53,定理18,证明,7,54,55,56,4.5广义逆矩阵A1,4,4.5.1广义逆A1,4的定义和构造,57,58,即,即,式，因为,59,60,61,从而,显然，最小范数广义逆不唯一，不同方法获得不同结果,就是解法一结果.,62,定理21,证明,63,4.6.1M-P广义逆存在及性质,4.6M-P广义逆矩阵,64,定理22对任意ACmn,A+存在且唯一.证存在性.当A=O时，显然存在，就是零矩阵；当A是非零矩阵时，设rankA=r，A的最大秩分解为A=BC，则,说明和是满秩的r阶方阵。现在来证就是，事实上,65,广义逆矩阵的计算,可见,唯一性.设和均满足方程（1）-（4）,66,则,证毕,67,定理23,证明,69,定理23的证明过程告诉我们若ACmn,rankA=r，A=BC是A的最大秩分解，则,70,类似地，若rankA=n，则,例10设，求,解因为而,特别地，若rankA=m，则,因为此时A的最大秩分解为,因为此时A的最大秩分解为,72,所以,73,例11设，求,解,列数,74,例12设，求,解因为,所以,于是有,从而,75,76,定理24,证明,77,78,定理25,证明,79,4.6.2M-P广义逆几种显示表示,是两个加号逆，于是,同理,所以,故加号逆是唯一的,80,定理27,证明,81,定理28,82,4.7广义逆在解线性方程组中的应用,83,4.7.1线性方程组求解问题的提法,84,85,86,4.7.2广义逆应用于解线性方程组,87,推论2,证明,定理29,证明,88,意向量,89,的通解,从而方程的任意一个解均可表示为,性方程组总是有解的。,特别地，当时，为齐次线性方程组，而齐次线,90,解方程组的系数矩阵与常数列为,由于,所以方程组是相容的，并且有减号逆,故所求方程组的通解为：,91,92,恒有,所以,是不相容方程组,的最小二乘解,4.7.3广义逆应用于解线性方程组,93,94,95,推论4,96,97,4.7.4广义逆应用于解线性方程组,引论1,证明,98,求得的最小范数解是唯一的,99,由于,而且,同理,所以,100,所以，方程组的最小范数解为,101,4.7.5M-P广义逆用于解线性方程组,102,即可事实上,引理,证明,103,