科学计算与数学建模第八章.ppt

科学计算与数学建模,中南大学数学科学与计算技术学院,层次分析法,第八章层次分析法,1层次分析法概述,人们在日常生活中常常碰到许多决策问题：买一件衬衫，你要在棉的、丝的、涤纶的及花的、白的、方格的之中作出抉择；请朋友吃饭，要筹划是办家宴或是去饭店，是吃中餐还是西餐或自助餐；假期旅游，是去风光绮丽的苏杭，还是去迷人的北戴河海滨，或者去山水甲天下的桂林。如果以为这些日常小事不必作为决策问题认真对待的话，那么当你面临报考学校、挑选专业、或者选择工作岗位的时候，就要慎重考虑、反复比较，尽可能作出满意的决策了。从事各种职业的人也经常面临对策：一个厂长要决定购买哪种设备，上马什么项目；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病症确定治疗方案；经理要从若干应试者中选拔秘书；各地区各部门的官员则要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。,人们在处理上面这些决策问题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同的特点是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素。在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择（当然要根据客观实际）会起着相当重要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。T.L.Saaty等人在20世纪70年代提出了一中能有效地处理这样一类问题的实用方法，称层次分析法（AnalyticHierarchyProcess,简记AHP）,这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。,层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初，为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。日常生活中有许多决策问题。举例：,1.在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。2.在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。3.在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义），可行性（难度、周期和经费）和人才培养。人们在对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析时，面临的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。层次分析法则为研究这类复杂的系统，提供了一种新的、简洁的、实用的决策方法。,该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。,该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价、能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。它的主要特点是定性与定量分析相结合，将人的主观判断用数量形式表达出来并进行科学处理，因此，更能适合复杂的社会科学领域的情况，较准确地反映社会科学领域的问题。同时，这一方法虽然有深刻的理论基础，但表现形式非常简单，容易被人理解、接受，因此，这一方法得到了较为广泛的应用。,2层次分析法的基本步骤,层次分析法将定性分析与定量计算结合起来,根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。,8.2.1建立层次结构模型,将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。最高层：决策的目的、要解决的问题。最低层：决策时的备选方案。中间层：考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。下面举例说明。,例8.2.1大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适合发挥自己的专长）；工作收入较好（待遇好）；生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；单位名声好（声誉等）；工作环境好（人际关系和谐等）发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。,图8.2.1大学毕业生就业选择问题层次分析图,例8.2.2选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择。,图8.2.2选择旅游地层次分析图,例8.2.3科研课题的选择某研究所现有三个科研课题，限于人力及物力，只能研究一个课题。有三个须考虑的因素：(1)科研成果贡献大小(包括实用价值和科学意义)；(2)人材的培养；(3)课题的可行性(包括课题的难易程度、研究周期及资金)。在这些因素的影响下，如何选择课题?,图8.2.2选择旅游地层次分析图,层次结构模型的构造可归纳为：将决策问题分为3个或多个层次：最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总目标。通常只有一个总目标。中间层：准则层、指标层、。表示采取某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节；一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等。通常有几个方案可选。,每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择方案的原则。,在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy等人提出：一致矩阵法，即：1.不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较2.对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。假设要比较某一层个因素对上一层一个因素的影响，如旅游决策问题中比较景色等个准则在选择旅游地这个目标中的重要性。每次取两个因素和，用表示和对的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵表示。,8.2.2构造成对比较矩阵,由于（8.2.1）式给出的特点。称为正互反矩阵。显然必有，如用依次表示景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，设某人用成对比较法（做次对比）得到的成对比较阵（正互反阵）为：,(8.2.2),（8.2.1）,（8.2.2）中表示景色与费用对选择旅游地这个目标的重要性之比为1：2；表示景色与居住条件之比为4：1；表示费用与居住条件之比为7：1。可以看出此人在选择旅游地时，费用因素最重，景色次之，居住条件再次。怎样由成对比较阵确定诸因素对上层因素的权重呢？,仔细分析一下（8.2.2）式给出的成对比较阵可以发现，既然与之比为1:2，与之比为4:1，那么与之比应为8:1,而不是7:1，才能说明成对比较是一致的。但是，个要素要作次成对比较，全部一致的要求是太苛刻了。Saaty等人给出了在成对比较不一致的情况下计算各因素对因素的权重的方法，并且确定了这种不一致的容许范围，为了说明这点我们先看成对比较完全一致的情况。,设想把一块单位重量的大石头砸成块小石头如果精确地称出它们的重量为，在作成对比较时令，那么得到,(8.2.3),这些比较显然是一致的，块小石头对大石头的权重（即在大石头中的重量比）可用向量表示，且.显然，的各个列向量与仅相差一个比例因子。一般地，如果一个正互反阵满足（8.2.4）,则称为一致性矩阵，简称一致阵。（8.2.3）式给出的显然是一致阵。容易证明阶一致阵有下列性质。1.的秩为1，的惟一非零特征根为；2.的任一列向量都是对应于特征根的特征向量。如果得到的成对比较阵是一致阵，像式（8.2.3）的，自然应取对应于特征根的，归一化的特征向量（即分量之和为1）表示诸因素，对上层因素的权重，这个向量称为权向量。如果成对比较阵不是一致阵，,但在不一致的容许范围内（下面将说明如何确定这个范围）。Saaty等人建议用对应于最大特征根。（记作）的特征向量（归一化后）作为权向量，即满足(8.2.5)直观地看，因为矩阵的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素，所以当离一致性的要求不远时，的特征根和特征向量与一致阵的相差不大，（8.2.5）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法。,比较尺度：当比较两个可能具有不同性质的因素和对于一个上层因素的影响时，采用什么样的相对尺度较好呢？Saaty等人提出用1-9尺度，即的取值范围是1，2，,及其互反数1，。理由如下：1.在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有5种明显的等级，1-9尺度可以方便的表示如表8.2.1：,表8.2.11-9尺度的含义,2心理学家认为，进行成对比较的因素太多，将超出人的判断能力。最多大致在范围。如以9个为限，用1-9尺度表示它们之间的差别正合适。3.Saaty等人曾用等共27种比较尺度，对在不同距离处判别某光源的亮度等实例构造成对比较阵，并算出权向量。把这些权向量与按照光强定律等物理知识得到的，或实际测量出的权向量进行对比发现，1-9尺度不仅在较简单的尺度中最好，而且结果并不劣于较复杂的尺度。目前在层次分析法的应用中，大多数人都用1-9尺度。,对应于成对比较矩阵的最大特征根的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为。的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对确定不一致的允许范围。定理8.2.1阶一致阵的唯一非零特征根为。,8.2.3计算权向量并做一致性检验,定理8.2.2阶正互反阵的最大特征根，当且仅当时为一致阵。由于连续的依赖于，则比大的越多，的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用数值的大小来衡量的不一致程度。,定义一致性指标:，有完全的一致性；接近于，有满意的一致性；越大，不一致越严重。为衡量的大小，引入随机一致性指标。方法为：1.随机构造500个成对比较矩阵：,2.则可得一致性指标：Saaty的结果如表8.2.2：,表8.2.2Saaty的结果,注：随机一致性指标定义一致性比率：,一般，当一致性比率时，认为的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对加以调整。“选择旅游地”中，准则层对目标的成对比较阵,最大特征根：权向量(特征向量)：一致性指标：随机一致性指标(查表可得)，一致性比率为通过一致性检验。,计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值，称为层次总排序。这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。,图8.2.4层次总排序图,层个因素对总目标的排序为：层个因素对上层中因素为，的层次单排序为层的层次总排序为：,即层第个因素对总目标的权值为：表8.2.3层次总排序表,层次总排序的一致性检验：设层对上层(层)中因素的层次单排序一致性指标为，随机一致性指为，则层次总排序的一致性比率为：当时，认为层次总排序通过一致性检验。层次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。,在旅游决策问题中我们已经得到了第二层（准则层）对第一层（目标层，只有一个因素）的权向量，记作（即由（8.2.2）式的A算出w）。用同样的方法构造第3层（方案层，见图8.2.1）对第2层的每一个准则的成对比较阵，不妨设它们为：,这里矩阵中的元素是方案（旅游地）与对于准则（景色、费用等）的优越性的比较尺度。由第3层的成对比较阵计算出权向量，最大特征根和一致性指标，结果列入表8.2.4,表8.2.4旅游决策问题第3层的计算结果,不难看出，由于时随机一致性指标（表8.2.2），所以上面的均可通过一致性检验。下面的问题是由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量，记作。对与方案，它在景色等5个准则中的权重用的第1个分量表示（表8.2.4中的第1行），而5个准则对于目标的权重又用权向量表示，所以方案在目标中的组合权重应为它们相应项的两两乘积之和，即,同样可以算出,在目标中的组合权重为0.246和0.456，于是组合权向量，结果表明方案在旅游地选择中占的权重近于1/2，远大于,。应作为第1选择地点。,在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据。组合一致性检验可逐层进行。若第层的一致性指标为（n是第p-1层因素的数目），随机一致性指标为定义,8.2.5组合一致性检验,(8.2.11),(8.2.12),则第层的组合一致性比率为:第层通过组合一致性检验的条件为.定义最下层（第S层）对第一层的组合一致性比率为，对于重大项目，仅当适当的小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验。,在旅游决策问题中可以算出前面已经有于是，组合一致性检验通过，前面得到的组合权向量可以作为最终决策的依据。可将层次分析法的基本步骤归纳如下:1.建立层次结构模型在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下的分解成若干层次。同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或收到下层的因素的作用，而同一层,的因素之间尽量相互独立。最上层为目标层，通常只有一个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有1个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时（比如多余9个）应进一步分解出子准则层。2.构造成对比较矩阵从层次结构模型的地2层开始，对于从属于（或影响及）上一层每个因素的同一层因素，用成对比较法和1-9比较尺度构造成对比较矩阵，直到最下层。,3.计算权向量并作一致性检验对于每一个成对比较矩阵计算最大特征根及对应特征向量（计算方法见本节第三小节），利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需重新构造成对比较矩阵。4.计算组合权向量并作组合一致性检验利用（8.2.10）式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验。若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则重新考虑模型或构造那些一致性比率较大的成对比较矩阵。,层次分析法在T.L.Saaty正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用。二三十年来它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配。从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等。,层次分析法在T.L.Saaty正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用。二三十年来它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配。从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等。这个方法在20世纪80年代初引入我国，也很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受，在经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等领域,得到了成功的应用。,3层次分析法的广泛应用,例8.3.1国家实力分析,图8.3.1国家实力分析图,例8.3.2工作选择,图8.3.2工作选择图,例8.3.3横渡江河、海峡方案的抉择,图8.3.3过河代价层次结果图,例8.3.4科技成果的综合评价,图8.3.4科技成果的综合评价图,当今任何部门每天都会接触到大量的信息，信息管理水平的高低直接关系着工作效率，甚至生存条件。财务、库存、销售、行政各种各样的管理信息系统（MIS）开发完成或准备推广时，通常要做全面的检查、测试和分析，AHP是进行综合评价的方法之一。某一类光里信息系统的综合评价指标体系如下：1.系统建设.科学性：规划目标的科学性，经济、技术、管理上的可行性；.实现程度：是否达到了系统分析阶段提出的目标；,8.3.1管理信息系统综合评价,.先进性：融合了先进的管理科学知识，有较强的适应性；.经济性：投资功能比；.资源利用率：对软硬件、资源信息的利用程度；.规范性：遵循国际标准、国家标准或行业标准，易于使用维护和扩充。,2.系统性能可靠性：主要是软硬件系统的可靠性；系统效率：系统响应时间、周转时间、吞吐量等；可维护性：确定、修正系统的错误所需的代价；可扩充性:系统结构、硬件设备、软件功能的可扩充程度；可移植性:将系统移植到另一种软硬件环境的代价；安全性:当自然或人为故障造成系统破坏时的有效对策；,3.系统应用.经济效益:降低成本、增加利润、提高竞争力、改进服务质量等；.社会效益:提高科技水平、合理利用资源、增进社会福利、保护生态环境等；.用户满意程度:人机界面友好、操作方便、容错性强、有帮助功能等；.功能应用程度:是否达到预期的技术指标。,用以上各评价指标构造层次结构，形成目标层A、准则层B、子准则层C和方案层D,如图8.3.5所示：,图8.3.5MIS综合评价的层次结构,由专家和用户组成的小组对3个MIS系统,进行综合评价，将成对比较阵略去，得到的权向量及一致性检验的结果如下：准则层对目标层的权向量，一致性指标子准则层C对，的权向量分别为,一致性指标分别为,方案层D对子准层C（共16个因素）的权向量和一致性指标列入表8.3.1。其中C对A的权向量=。而是以，为列向量的的矩阵（见（8.2.8）式）,以表8.3.1中的16个权向量为列向量构成矩阵，则方案D对目标层A的组合权向量为各层的一致性检验及组合一致性检验全部通过，上面得到的组合权向量可以作为3个MIS系统综合评价的依据，既系统最优，次之。,表8.3.1MIS综合评价中方案层D对子准层C的计算结果,表8.3.1MIS综合评价中方案层D对子准层C的计算结果,某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状况。下面用AHP方法对3人综合评估、量化排序。1、建立层次结构模型,8.3.2领导干部的选拔,图8.3.6层次结构模型图,2、造成对比较矩阵及层次单排序,图8.3.7对比较矩阵及层次单排序图,A的最大特征值：相应的特征向量为：一致性指标随机一致性指标RI=1.24(查表)一致性比率CR=0.07/1.24=0.05650.1通过一致性检验假设3人关于6个标准的判断矩阵为：,由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。均通过一致性检验。,表8.3.2各属性的最大特征值表,3、次总排序及一致性检验从而有,即在3人中应选择担任领导职务。,挑选合适的工作。经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如图8.3.7所示。,8.3.3工作选择,图8.3.7层次结构模型,构造对比较矩阵如下：,方案层,上述成对比较矩阵均通过一致性检验。层次总排序如表8.3.3所示。根据层次总排序权值，该生最满意的工作为工作1。计算程序见附录1,表8.3.3层次总排序表,4层次分析法的若干问题,层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用，而且在理论体系、计算方法以及建立更复杂的层次结构等方面都有很快的发展。本节将着重从应用的角度讨论几个问题,8.4.1应用层次分析法的注意事项,层次分析法的优点系统性将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；,实用性定性与定量相结合，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性；简洁性计算简便，结果明确，具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，容易被决策者了解和掌握。便于决策者直接了解和掌握。,层次分析法的局限囿旧只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案；粗略该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。；主观从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。,8.4.2正负反阵的相关性质,成对比较矩阵是正互反阵。层次分析中用对应他的最大特征根的特征向量作为权向量。用最大特征根定义一致性指标（8.2.6）式进行一致性检验。这里人们首先碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映他接近一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时。他是否就变为为一致阵。下面两个定理可以回答这些问题。,定理8.4.1于正矩阵(的所有元素为正数)1）的最大特征根是正单根；2）对应正特征向量（的所有分量为正数）3），是对应的归一化特征向量。定理的1），2）是著名的Perron（1907）定理的一部分，3)可通过将化为标准形证明（略）,定理8.4.2n阶正互反阵的最大特征根n,=n是A为一致阵的充要条件。定理8.4.2和前面所诉的一致性的性质证明，n阶正互反阵A是一致阵的充要条件为，A的最大特征根=n。上述结论为特征根法用于层次分析提供了一定的理论依据。,8.4.3正负反阵最大特征根和特征向量的实用算法,众所周知，用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高的时候。另一方面，因为成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它作精确计算是不必要的，所以完全可以用简单的近似方法计算器特征根和特征向量，下面介绍几种：,1.幂法步骤如下：a.任取维归一化初始向量，b.计算，c.归一化，即令,d.对于预先给定的精度，当时，即为所求的特征向量，否则返回b，e.计算最大特征根。这是球最大特征根对应特征向量的迭代方法，其收敛性有定理8.4.1的3)保证。可任选或取为下面方法得到的结果。,2.和法步骤如下：a.将的每一列向量归一化的b.对按行求和得，c.将归一化即为近似特征向量。,d.计算，作为最大特征根的近似值。这个方法实际上是将的列向量归一化后取平均值，作为的特征向量。因为当为一致阵时它的每一列向量都是特征向量，所以的不一致性不严重，则取的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的。,3.根法步骤与和法基本相同，只是将步骤b改为按行求积，即根法是将和法中求列向量的算术平均值改为球技和平均值。以上3个方法中以和法最为简单。试用它计算一个例子：,例,列向量归一化,按行