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文档简介

二阶常系数齐线性微分方程,特征方程,特征根,通解形式,n阶常系数齐线性微分方程的特征方程为,例1.求解方程y2y3y=0,解：特征方程r22r3=0,得特征根r1=1,r2=3,(r+1)(r3)=0,解：特征方程,得r1=r2=5,例2.,例3.,解：,得,例4.求解方程y(4)+5y+9y+7y+2y=0,解：特征方程r4+5r3+9r2+7r+2=0,可求得r1=2,r2=r3=r4=1,则y1=e2x,y2=ex,y3=xex,y4=x2ex,当二阶常系数非齐线性方程,它有下列形式的特解：,其中：,例1.,解：,=2，P1(x)=4x+5,特征方程：r23r20得r1=2,r2=1,所以设y*=xe2x(Ax+B),y*=2Ax2e2x+2(A+B)xe2x+Be2x,y*=4Ax2e2x+4(2A+B)xe2x+2(A+2B)e2x,代入方程化简得,2Ax+(2A+B)=4x+5,比较得,2A=4,2A+B=5,例2.,解：,=0,P2(x)=2x23,特征方程r2+1=0,得r1,2=i,所以设y*=Ax2+Bx+C,代入方程得Ax2+Bx+(2A+C)=2x23,比较得A=2,B=0,2A+C=3,有A=2,B=0,C=7,例3.,=1,P0(x)=1,解：,特征方程r22r10,r1,21,故设y*=x2Aex,求得,其中,k,例6.,解：,特征方程r2+4=0,得r1,2=2i,例7.,解：,特征方程r2+1=0,得r1,2=i,例8.,解：,特征方程r25r60,得r1=2,r2=3,(2)再求y*：,有,(1),(2),求方程(1)的y1*:设y1*=Ax
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