数列的应用题

(二期课改),7.数列的应用题,1.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题 2.数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用,如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等. 3.解答数列应用题的基本步骤 (1)审题仔细阅读材料，认真理解题意 (2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的结构和特征. (3)求解求出该问题的数学解 (4)还原将所求结果还原到原实际问题中,4. 数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少) 的量就是公差 (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比 (3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则 .,例2.,解：根据题意，经过n年后绿化面积为,例3.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式； (2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？（保留一位小数）参考数据：0.9100.35.,解: (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，,(2)10年出口总量,S1080，10a(1-0.910)80，,故2010年最多出口12.3吨.,且首项a1=a, 公比q=1-10%=0.9,an=a0.9n-1.,4.用分期付款的方式购买家用电器一件,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付所欠款的利息,月利率为1,若以付150元后的第一个月开始作为分期付款的第一月,问分期付款的第十个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花了多少钱?,解:因为购买当天付150元,所以欠款为1000元,依题意共分20次付清,设每次交款数分别为a1,a2,an,则有,a1=50+10001=60,a2=50+(1000-50)1=59.5,a3=50+(1000-250)1=59,an=50+1000-(n-1)501,an构成以60为首项,-0.5为公差的等差数列.,=1105(元).,a10=60-90.5=55.5（元) 第十个月该付55.5（元）,实际付款1105+150=1255(元).,20次分期付款的总和：,=60+(n-1)(-0.5),5.某企业投资1000万元于一个高科技项目，每年可获利25%。由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少处后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？取（1g2=0.3）.,例6. 某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元.设f(n)表示前n年的纯收入(f(n)=前n年的总收入前n前的总支出投资额)（1）从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后,外商为开发新项目,有两种处理方案：年平均利润最大时以48万美元出售该厂；纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂,问哪种方案最合算？,解:由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，,例7:甲型H1N1型流行性感冒是由甲型H1N1流感病毒引起的急性呼吸道传染病。今年4月份发生流感，据资料记载，4月1日，新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到4月30日止，在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问4月几日，感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。,解：由题意，4月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列an:a1=20,d1=50,4月n日新感染者人数an=50n30；,从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列bn,b1=50n-60,d2=30，,故共感染者人数为：,=8670，,化简得：n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，,即4月12日这一天感染者人数最多，为570人。,例8:某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？,设经过n年后，该项目的资金为an万元，,解：,由题，an =an-1（1+25%）-200（n2），,即an -800成一个等比数列，,a1=1000(1+25%)-200=1050, a1-800=250，,n12.4,即至少要过13年才能达到目标。,例9：某城市2000年底人口为500万，人均居住面积为6平方米，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年新增住房面积为150万平方米，求2010年底该城市人均住房面积是多少平方米？（精确到0.1平方米,1.0151.05）,【解】设某城市2000年底、2001年底2010年底的总人口数（单位：万人）和住房总面积数（单位：万平方米）分别组成数列,，,，公比,，,则2010年底城市的总人口数为,为等差数列，且,，公差,，,则2010年底城市的住房总面积数为,故2010年底该城市人均住房面积为,8.2平方米,答：2010年底该城市人均住房面积为8.2平方米,例4：某县为迎战即将到来的洪峰，需要在24小时内加高一堤坝，经计算，某工程相当于一台挖土机挖480小时，该县仅有2台挖土机可以立即投入挖土，其余挖土机需要从他处紧急调用，若每隔30分钟可有一台挖土机投入工作，且所有挖土机都是同一型号，问至少应调用多少台挖土机才能确保工程如期完成。,解：1台需要挖480小时，所以总工程量为480（台时），这里每台时即是一台机器挖一小时的量，,最开始是两台挖半小时 即21/2,然后增加一台再挖半小时 即31/2,依此类推 设至少调n台投入使用,所以总工程量列方程为：,答:至少应调用25台挖土机才能确保工程如期完成.,例5：小张在暑假勤工俭学，得到了5000元人民币的劳动收入，他打算把这笔钱存入银行，作为五年后读研究生时的费用。存款方案 有多种选择，问下列哪种存款方案可使小张获利较大。方案一：存五年期的定期存款；方案二：连续存五次一年期的定期存款；方案三：连续存一次三年期、一次两年期的定期存款。（设五年期的定期存款年利率是2.79, 一年期的定期存款年利率是1.98, 三年期的定期存款年利率是2.52, 二年期的定期存款年利率是2. 25）,解：方案一：存五年期的定期存款到期的本利和为：,5000（1+2.795)=5697.5(元）,方案二：连续存五次一年期的定期存款到期的本利和为：,5000（1+1.98）5,5514.99,方案三：连续存一次三年期、一次两年期的定期存款到期的本利和为：,5000（1+2.523）（1+2. 252）=5620（元）,通过比较，可知方案一可使小张获利较大。,例10：用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150元以后的第一个月开始分期付款，问分期付款的第10个月应付多少？,(等本还款),解: 购买时付出150元后，余欠款1000元，按题意应分为20次付清，设每次交付欠款的数依次构成数列 ，则,20次分期付款总和:,1105+150=1255（元）。,综上，第10个月应交付55.5元，全部付清后实际共付款额为1255元。,例11、购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款的方式，每期付款数相同，购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款，如此下去，共付款5次还清，如果按月利率0.8，每月利息按复利计算（上月利息要记入下月本金），那么每期应付款多少？（精确到1元）。深化研究一般性结论：你能否给出分期付款问题的一般计算公式呢？,解：设每月还款x元，,得,1024（元）,答:每期应付款1024元.,例12购买一件售价为a元的商品，采用分期付款的方法，每期付款数相同，要求在m个月内将款全部付清，月利率为p，分m次付款，求每次付款的计算公式。,解：设每期付款x元，,由题意得,购买一件售价为a元的商品，采用分期付款的方法，每期付款数相同，要求在m个月内将款全部付清，月利率为p，分n（n是m的约数）次付款，求每次付款的计算公式。,由题意得,解：设每期付款x元，,例13一对夫妇为了给独生孩子支付将来上大学的费用，从婴儿出生，每年孩子的生日都要到银行储蓄一笔数额相等的钱。设上大学四年费用共需用10万元，银行储蓄利息为年息2.25%，每年按复利计算，为使孩子到18岁上大学时，本利和共有10万元，求他们每年应存多少钱？（1.0225171.4597, 1.0225181.4926）,【解】该夫妇总共存了18笔钱；,若每年存,则第一笔钱到取款时存了18年，,第二笔钱到取款时本利和为,元；,最后一笔到取款时本利和为,元，,18笔钱的本利和构成等比数列，由题意得：,即,解之得：,x=4467答：这对夫妇每年应存入4467元,元，,例14:某煤矿从开始建设到出煤共需5年,每年国家投资100万元, 如果按年利率为10来考虑,那么到出煤的时,国家实际投资总额是多少?,解:第一年投资本利和是 100(1+10) 万元,答:到出煤时,国家实际投资总额是671.561万元。,第二年投资的本利和是100(1+10)2万元,.,第五年投资的本利和是100(1+10)5万元,an是以a1=100(1+10),q=1+10的等比数列,例15:水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题,全国有 9100万亩的坡耕地需要退耕还林,其中西部地区占70,2000 年国家确定在西部地区退耕土地面积为515万亩,以后每年 退耕土地面积递增12 （1）试问从2000年起到哪一年,西部地区基本解决退 耕还林问题?,解:从2000年起,西部地区每年退耕还林的坡地亩数构成一个 首项为515,公比为1+12的等比数列,设x 年以后基本解决退耕还林问题,则,515+515(1+12)+515(1+12%)x=910070%,根据等比数列求和公式得:,1.12 x+12484， x7,所以，到2007年西部地区基本解决退耕还林问题。,（2）为支持退耕还林工作，国家财政补助农民每亩300斤粮食， 每斤粮食按07元计算，并且每亩退耕地补助20元，试问：到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支 付约多少亿元？（可以使用计算器）,解：从2000年起到2007年每年退耕还林的亩数构成一个等比 数列an，由题意得,上一张,a1+a2+a8=910070%104,到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付：,（a1+a2+a8）（30007+20） =（a1+a2+a8）23014651010（元）=1465（亿元）,答：国家财政共需支付约1465亿元,例16;用分期付款的方式购买家用电器一件,价格为1150元,购买 当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付所欠款 的利息,月利率为1,若以付150元后的第一个月开始作为分 期付款的第一月,问分期付款的第十个月该交付多少钱?,解:因为购买当天付150元,所以欠款为1000元,依题意共分20 次付清,设每次交款数分别为a1,a2,.,an,则有,a1=50+10001=60,a2=50+(1000-50) 1=595,a3=50+（1000250）1=59,an=50+1000（n1）501,an构成以60为首项，05为公差的等差数列。,.,a10=60905=555（元) 第十个月该付555（元）,全部贷款付清后,买这件家电实际花了多少钱?,20次分期付款的总和： S20=60+601905/ 2 20=1105（元） 实际付款1105+150=1255（元）,例17 某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2008年底全县的绿地已占全县总面积的30%.从2009年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠. (1)在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？ (2)至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？,【分析】 本题为实际问题，首先应该读懂题意，搞清研究对象，然后把它转化为数学问题.不难看出，这是一道数列型应用问题.因此，我们可以设全县面积为1，记2008年底的全县绿地面积占总面积的百分比为 ，经过n年后全县绿地面积占总面积的百分比为 ，则我们所要回答的问题就是： 是否存在自然数n，使得 80%？ 求使得 60%成立的最小的自然数n.,n,a,【解析】,即全县绿地面积不可能超过总面积的80%.,所以，从2008年底开始，5年后，即2013年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%.,【分析】作为解决这个问题的第一步，我们首先需要明确的是：如果不考虑其他因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的.比如说，现在的10元钱，其价值应该大于1年后的10元钱.原因在于现在的10元钱，在1年的时间内要产生利息.,例18某人计划年初向银行贷款10万元用于买房.他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4%，且每年利息均按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，问每年应还多少元？(精确到1元),如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值，与这个人还款的价值总额应该相等.则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间(即贷款全部付清时)去计算.,10万元在10年后(即贷款全部付清时)的价值为 元.,设每年还款x元.则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为 ；,第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为 ；,第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x元.于是，,由等比数列求和公式可得,从另一个角度思考，我们可以分步计算.考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱.,仍然设每年还款x元.则第一年还款后，欠银行的余额为 元.,如果设第k年还款后，欠银行的余额为 元，,另一方面，按道理，第10次还款后，这个人已经把贷款全部还清了，故有,由此布列方程，得到同样的结果.,例题19 某种产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知：在不作广告宣传且每件获利a元的前提下可卖出b件；若作广告宣传，广告费为n(nN*)千元时比广告费为n-1千元时多卖出 件.设作n千元广告时销售量为Sn.(1)试写出销售量Sn与n的函数关系式；(2)当a=10,b=4000时，厂家应生产多少件这种产品，作几千元广告，才能获取最大利润？,(1)据题意,(2)b=4000时， ,设销售量为Sn时获利Tn，,欲使Tn最大，,故n=5,此时Sn=7875.,故该厂家生产7875件产品，作5千元广告，能使获利最大.,例20.某市2009年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数,前n天中，每天流感病毒患者构成等差数列，而后30n天也是等差数列，求两数列的和.,分析,【解】设第n天新患者人数最多，则从n1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n天流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n项和，Sn20n 5025n25n(1n30，nN)，而后30n天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20(n1)503050n60，公差为30，项数为30n的等差数列的和，Tn(30n)(50n60) (30)65n22445n14