高中数学专题突破(四)高考立体几何问题的求解策略

重点考查线面平行和垂直的判定与性质；在线面平行中要注意三角形中位线与平行四边形的应用，在线面垂直中要注意线面垂直与面面垂直性质的应用(2013台州模拟)如图1，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEEBBC2，F为CE上的点，且BF平面ACE，ACBDG.,(1)求证：AE平面BCE；(2)求证：AE平面BFD；(3)求三棱锥CBGF的体积【思路点拨】(1)由线面垂直可得线线垂直，进而可证线面垂直；(2)将证线面平行转化为证线线平行，而线线平行可由三角形的中位线得到；(3)利用等积法求三棱锥CBGF的体积【规范解答】(1)AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，,则AEBC.又BF平面ACE，则AEBF.BCBFB，AE平面BCE.(2)依题意可知：G是AC中点BF平面ACE，则CEBF，而BCBE.F是EC中点在AEC中，FGAE，又FG平面BFD.AE平面BFD.(3)AEFG，而AE平面BCE.FG平面BCE，FG平面BCF.,【反思启迪】1.立体几何中的“平行”与“垂直”问题是新课标教材中的重要内容，本题通过线线平行证明线面平行，通过线线垂直证明线面垂直，这是立体几何的常用手段，体现了转化的思想2我们利用等积法将不易于求高与底面积的体积计算问题转化为易于求高与底面积的体积计算问题，从而顺利求解,(2013徐州模拟)如图2，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)证明PA平面EDB；(2)证明PB平面EFD；,【证明】(1)连结AC交BD于O，连结EO.底面ABCD是正方形，点O是AC的中点在PAC中，EO是中位线，PAEO，而EO平面EDB且PA平面EDB，所以，PA平面EDB.(2)PD底面ABCD且DC底面ABCD，PDDC，,PDDC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，DEPC.同理由PD底面ABCD，得PDBC.底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC.而DE平面PDC，BCDE.由和推得DE平面PBC.而PB平面PBC，DEPB.又EFPB，EFDEE，PB平面EFD.,面面垂直的判定与性质是高考重点考查的内容，在证明和应用时应注意线面垂直与面面垂直的相互转化，在面面平行关系中，应注意面面平行与线面平行关系的转化(2013日照模拟)如图3，已知正方体ABCDA1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1和棱CC1于E、F两点(1)求证：A1ECF；,(2)若E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点，求证：平面EBFD1平面BB1D1D.【思路点拨】(1)充分利用正方体的对称性，可通过三角形全等证明A1ECF；(2)由E、F是正方体对棱的中点，可得四边形EBFD1为菱形，从而得到线线垂直，问题将迎刃而解【规范解答】(1)由题知，平面EBFD1与平面BCC1B1交于BF，与平面ADD1A1交于ED1.又平面BCC1B1平面ADD1A1，D1EBF，同理BED1F.,四边形EBFD1为平行四边形，D1EBF，A1D1CB，D1EBF，D1A1EBCF90，RtA1D1ERtCBF，A1ECF.(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形EBFD1是平行四边形AEA1E，FCFC1，RtEABRtFCB，BEBF，故四边形EBFD1为菱形连结EF、BD1、A1C1.四边形EBFD1为菱形，EFBD1，,在正方体ABCDA1B1C1D1中，有B1D1A1C1，B1D1A1A，B1D1平面A1ACC1.又EF平面A1ACC1，EFB1D1.又B1D1BD1D1，EF平面BB1D1D.又EF平面EBFD1，故平面EBFD1平面BB1D1D.【反思启迪】证明面面垂直的关键是证明线面垂直，而线面垂直又是通过线线垂直实现的，充分利用正方体的对称性，通过证明四边形EBFD1是菱形证明线线垂直是本题证明的关键,【解】(1)证明因为ABCD为矩形，所以ABBC.因为平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，AB平面ABCD，所以AB平面BCE.,与位置关系有关的探索性问题在高考中时常出现，求解时应从结论出发分析结论成立需要哪些条件，哪些条件已满足，那些未满足的条件，正是我们探索条件是否具备的依据(2013潍坊模拟)如图5，在四面体PABC中，PCAB，PABC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点,(1)求证：DE平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由【思路点拨】(1)通过线线平行证明线面平行；(2)先证明四边形DEFG为平行四边形，再证明其为矩形；(3)充分利用“中点”的特征进行推证【规范解答】(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DEPC.又因为DE平面BCP，所以DE平面BCP.,(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DEPCFG，DGABEF.所以四边形DEFG为平行四边形又因为PCAB，所以DEDG.所以四边形DEFG为矩形(3)存在点Q满足条件，理由如下：连结DF，EG，设Q为EG的中点由(2)知，DFEGQ，,【反思启迪】1.在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本2第(3)问