2013-2014学年高二数学备课课件：2.2.2《椭圆方程及性质的应用》（新人教a版选修2-1）

第2课时椭圆方程及性质的应用,类型 一 直线与椭圆的位置关系 【典型例题】1.若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点,则m的取值范围为.2.k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?,【解题探究】1.直线过定点的问题一般如何处理?当点在什么位置时,经过该点的直线总与椭圆有公共点?2.判断直线与椭圆有几个公共点时,常用什么方法?,探究提示:1.(1)把含参数的直线整理为两部分,一是含参数的部分,一是不含参数的部分,让两部分同时为零,即可求得直线的定点.(2)当点在椭圆内部和在椭圆上时,经过该点的直线与椭圆总有公共点.2.判断直线与椭圆的交点个数,往往利用判别式的符号进行判断.,【解析】1.方法一:由 消去y,整理得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0,=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1).直线与椭圆总有公共点,0对任意kR都成立.m0,5k21-m恒成立,1-m0,即m1.又椭圆的焦点在x轴上,0m5,1m5.,方法二:直线y=kx+1过定点M(0,1),要使直线与该椭圆总有公共点,则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上,由此得 解得1m0,即k 或k- 时,直线和曲线有两个公共点;当=72k2-48=0,即k= 或k=- 时,直线和曲线有一个公共点;当=72k2-480,即- kb0)的离心率为 ,椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P,Q,且|PQ|= ,求椭圆的方程.,【解题探究】1.题1中的直线l已经具备了哪些条件?2.直线与椭圆相交的弦长问题,一般应如何处理?探究提示:1.直线l已经具备了两个条件,一是此直线的斜率为1,二是此直线上的一个点即焦点( ,0).2.对于直线与椭圆相交的弦长问题,一般应把直线与椭圆的方程联立方程组,应用根与系数的关系表示出x1+x2(或y1+y2)与x1x2(或y1y2),然后再根据条件求解其他问题.,【解析】1.设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由椭圆方程得a2=4,b2=1,c2=3,所以F( ,0),直线l的方程为y=x- .将其代入x2+4y2=4,化简整理,得5x2-8 x+8=0,所以x1+x2= ,x1x2= .所以|AB|= |x1-x2|=答案:,2.设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由e= 得c= a.由c2=a2-b2,得a2=4b2.由 消去x,得2y2+8y+16-b2=0.由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=|PQ|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2=5(y1-y2)2=5(y1+y2)2-4y1y2=10,即516-2(16-b2)=10,解得b2=9,则a2=36.所以椭圆的方程为,【互动探究】题1中若直线过x轴上点(m,0),那么当m为何值时,弦长|AB|最长?【解题指南】列出直线方程,与椭圆方程构建方程组.利用弦长公式建立弦长的函数,再由二次函数求最值.【解析】由条件可知,直线l的方程可设为y=x-m.再由 得5x2-8mx+4m2-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= ,x1x2=由0即64m2-20(4m2-4)0得- mb0).,提醒:有时为了方便,也可联立方程组消去x,利用公式|AB|= |y2-y1|= 求解.,2.“设而不求”的思想在求弦长时的应用设出两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),目的不是求出点的坐标,而是通过方程联立得到一元二次方程,借用根与系数的关系,得到x1+x2,x1x2或y1+y2,y1y2.再转化求出,如|AB|= |x2-x1|=,【变式训练】已知椭圆C中心在原点O,焦点在x轴上,其长轴长为焦距的2倍,且过点M(1, ),F为其左焦点.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过左焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点,当|AB|= 时,求直线l的方程.【解题指南】(1)采用待定系数法求解.(2)分l斜率存在和不存在讨论,当斜率存在时,利用弦长公式建立方程,解方程求出斜率,进而求出直线l的方程.,【解析】(1)由条件知:a=2c,b2=a2-c2=3c2,设椭圆的标准方程为又过点M(1, ),c2=1,a2=4,b2=3,椭圆的标准方程为,(2)当直线l斜率不存在时,|AB|=3,不合题意.当直线l斜率存在时,设直线l:y=k(x+1),由得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2= x1x2=,|AB|= |x1-x2|=k2= ,即k= ,直线l的方程为x- y+1=0或x+ y+1=0.,中点弦问题【典型例题】 1.(2013安阳高二检测)如果椭圆 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是()A.x-2y=0 B.x+2y-4=0C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=02.焦点分别为(0,5 )和(0,-5 )的椭圆截直线y=3x-2所得椭圆的弦的中点的横坐标为 ,求此椭圆的方程.,【解题探究】1.把中点弦的两端点(x1,y1)和(x2,y2)代入椭圆方程作差,能得到什么结论?2.在解决直线与椭圆的关系问题时,的值必须验证吗?探究提示:1.x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,其中(x0,y0)为中点坐标,所以把 与 作差后能直接求得直线的斜率k.2.一般情况下,的符号都要验证,其目的是防止增根.,【解析】1.选D.设弦的两端点分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4.又由得k=所以弦所在的直线方程为y-2=- (x-4),即x+2y-8=0.,2.设椭圆方程为 (ab0),且a2-b2=(5 )2=50, 由得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0, a2=3b2, 由得:a2=75,b2=25,此时0,椭圆方程为,【拓展提升】解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.,(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 (ab0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点,则 由-,得变形得 即,【变式训练】(2013大理高二检测)已知椭圆的中心在原点,焦点为F1(0,-2 ),F2(0,2 ),且离心率(1)求椭圆的方程.(2)直线l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A,B,且线段AB中点的横坐标为- ,求直线l的斜率的取值范围.,【解析】(1)设椭圆方程为 (ab0),由已知c=2 ,又 解得a=3,所以b=1,故所求方程为(2)设直线l的方程为y=kx+b(k0)代入椭圆方程整理得(k2+9)x2+2kbx+b2-9=0.由题意得解得k 或k 或k0,只能x= ,于是y=故点P的坐标是( ).,(2)直线AP的方程是x- y+6=0.设点M的坐标是(m,0),则M到直线AP的距离是于是 =|m-6|,又-6m6,解得m=2.设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,有d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20- x2= (x- )2+15,由于-6x6,故当x= 时,d取最小值,【拓展提升】1.椭圆上的点到直线的最大距离、最小距离问题的最佳解法,2.解决与椭圆有关的最值问题的三种方法(1)定义法:利用定义转化为几何问题处理.(2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解.(3)函数法:探求函数模型,转化为函数的最值问题来处理.,【规范解答】平面向量在椭圆求解中的应用,【典例】,【条件分析】,【规范解答】(1)由已知可设椭圆C2的方程为 ,其离心率为 ,故 ,则a=4,故椭圆C2的方程为 4分(2)方法一:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由 及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx ,6分,将y=kx代入椭圆方程 +y2=1得(1+4k2)x2=4,所以 8分将y=kx代入 中,得(4+k2)x2=16,所以 9分又由 得xB2=4xA2 ,即 解得k=1,11分故直线AB的方程为y=x或y=-x.12分,方法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx,6分将y=kx代入椭圆方程 得(1+4k2)x2=4,所以xA2= ,故 7分由 得 ,9分将xB2,yB2代入椭圆C2的方程 中,整理得即4+k2=1+4k2,解得k=1,11分故直线AB的方程为y=x或y=-x.12分,【失分警示】,【防范措施】1.合理设出方程在解题时,根据题目条件合理设出方程是解题的关键,往往对解题起到很大的简化作用,如本例中,由题意可设出C2的方程为 (a2).2.向量式的应用关键在解析几何中,向量相等,往往是通过对应坐标相等来实现的,这是使用向量式的关键,要在平时解题中落实.,【类题试解】(2013天津高考)设椭圆 (ab0)的左焦点为F,离心率为 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为(1)求椭圆的方程.(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若 =8,求k的值.,【解题指南】(1)由离心率及过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长求出a，b，c的值，写出椭圆方程. (2)写出过点F且斜率为k的直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示 求解.,【解析】(1)设F(c,0),由 过点F且与x轴垂直的直线为x=c,代入椭圆方程有 解得 解得 又a2-c2=b2，从而a= c=1，所以椭圆的方程为,(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2)，由F(1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),由方程组 消去y，整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k26=0.所以x1+x2=,因为A( ,0),B( ,0),所以=(x1+ ,y1)( x2,y2)+(x2+ ,y2)( x1,y1)=62x1x22y1y2=62x1x22k2(x1+1)(x2+1)=6(2+2k2)x1x22k2(x1+x2)2k2=由已知得,1.直线y=x+1被椭圆 所截得的弦的中点坐标是()A.( , ) B.( , )C.(- , ) D.(- ,- ),【解析】选C.由 得3x2+4x-2=0,x1+x2=- ,弦中点的横坐标纵坐标故选C.,2.过椭圆 的一个焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦,则此弦长为()A. B.3 C.2 D.【解析】选B.c2=a2-b2=4-3=1,椭圆的焦点坐标为(1,0).把x=1或x=-1代入 得y= .所以此弦长为 -(- )=3.,3.过椭圆 的左焦点且斜率为1的弦AB的长是.【解析】椭圆的左焦点为(-4,0),由 得34x2+200x+175=0,x1+x2=- ,x1x2= .|AB|=答案:,4.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+ y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为.【解析】设椭圆方程为 (ab0).由得(a2+3b2)y2+8 b2y+16b2-a2b2=0,由=0及c=2,可得a2=7,2a=2答案:2,5.已知椭圆 过点P(2,1)作一弦,使弦在这点被平分,求此弦所在直线的方程.【解析】方法一:由题意可知所作的弦所在直线的斜率存在,设所求直线的方程为y-1=k(x-2).代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则