闭区间上连续函数性质及第1章习题课

4 4 函数的连续性函数的连续性 4.2 连续函数的局部性质连续函数的局部性质 4.1 函数连续性的定义函数连续性的定义 4.3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 4.4 初等函数的连续性初等函数的连续性 4.3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 最值定理最值定理, ,)(baCxf 则, , 21 baxx使 Mxfxfxfm)()()( 21 xo y a b )(xfy 1 x 2 x m M C )()()(最小值的最大值为xfmM 介值定理介值定理 设, ,)(baCxf M与最小值 m 之间的任一数 C , 使 至少有一点 则对介于最大值 最大值最小值定理最大值最小值定理 在该区间上一定有最大值和最小值. 在闭区间上连续闭区间上连续的函数 xo y ab )(xfy 1 x 2 x m M 即: 设, ,)(baCxf 则, , 21 baxx mxfxf bxa )(min)( 1 Mxfxf bxa )(max)( 2 推论推论. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 例如例如, 无最大值和最小值 x o y 1 1 2 2 也无最大值和最小值 又如又如, 注意注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 或在闭区间内有间断 点 , x o y 1 1 证证： )(xf在内连续, 极限 ,)(lim,)(limBxfAxf bxax 设 存在,则 作辅助函数辅助函数 , ),( , )( bxB bxaxf axA xF ,)(baCxF )(xf 在内有界. ,)(上有界在baxF .),()(上有界在则baxf (P75.综合题综合题 9 9) 定理定理2. ( 零点定理零点定理 ), ,)(baCxf 至少有一点且 使 x y o a b )(xfy 推论推论1.,)(baCxf且,)(Aaf 对 A 与 B 之间的任一数 C,至少有一点使 .)(Cf ,)(BABbf 介值定理介值定理 推论推论2., ,)(baCxf)(xf则 可以取到介于最大(小) 值 M (m) 之间的任一函数值.即 .,)(MmfR 零点定理的应用：证明函数方程根的存在性零点定理的应用：证明函数方程根的存在性 推论推论1. ( 介值定理介值定理 ), ,)(baCxf且,)(Aaf 对 A 与 B 之间的任一数 C , 有一点使 至少,)(BABbf A b xo y a )(xfy B C M m 证证: 作辅助函数辅助函数Cxfx)()( 则,)(baCx 且 )()(ba)(CBCA 故由零点定理零点定理知, 至少有一点 使即 例例1 ,4,0)(上连续在闭区间xf 至少有一个不超过4 的正根. 证证： 证明 令1)( 3 x exxf 且 )0(f1 3 e )4(f14 34 e 0 03e 显然 . 根据零点定理零点定理 , , )4,0(,0)(f使 )4,0(内至少存在一点在开区间 即原方程至少有一个不超过4 的正根. 例例2 . (P75. 12) 证证: 使证明：至少有一点 由最值定理最值定理, 存在最小, 最大值 ).,()(baxMxfmm, M, 使 )()()( 2211nn xfxfxf M n ）（ 21 M m 则由介值定理介值定理，使 )()()()( 2211nn xfxfxff 至少有一点 例例3 . 上连续 , 且)(xf在 必存在一点使证明:(P75. 13) 证证: 则有 作辅助函数辅助函数,)()(xxfxF 使故由零点定理零点定理知 , 存在, ),(ba 即 ,)(baCxF 0)()(bbfbF, 0)()(aafaF 且 例例4 证证： )(xf在 上连续 , 且 则至少有一点 , 0)()(, ,)(bfafbaCxf且 使则至少有一点 故由保号性保号性, 存在 ,0ba0)(, 0)(bfaf使 证证： )(xf在内连续, 且 则至少有一点 , 0)(lim, 0)(lim BxfAxf bxax 设 由局部保号性局部保号性, 存在且异号, (P74. 10(2) 使 , 0)()(, ,)( 2121 xfxfxxCxf且 证法证法1： 证法证法2：作辅助函数辅助函数 BbFAaFbxaxfxF)(,)(),()()( , 0)()(,)(bFaFbaCxF且 ),(ba使. 0)()(fF , 21 bxxa . 0)(, 0)( 21 xfxf使存在 零点定理的应用零点定理的应用 定理定理2. ( 零点定理零点定理 ), ,)(baCxf 至少有一点 且 使 0)()(bfaf ),(ba )(lim),(limxfxf bxax )(xf在 内连续连续, 且 则至少有一点 存在且异号存在且异号, ),( (lim( ), lim( ) xx f xf x 或 )(xf在上连续连续,且 则至少有一点 存在且异号存在且异号, 例例5 证证： ,)(lim,)(lim xfxf xx 证明当n为奇数时, 在R内至少有一个根.(P63.例例8) , 0)()(, ,)(bfafbaCxf且 使则至少有一点 故由保号性保号性, 存在,0ba0)(, 0)(bfaf使 在R内至少有一个根. 例例6. 证：证： ,)(lim 2 xf x 在区间 内至少有一个根. 至少有 证明： . 0)(), 2 , 0( 11 xfx使 由保号性保号性, ). 2 , 0()( Cxf 故 ) cos 1 (lim 0 x a x , 01 a使), 2 , 0( 2 x 0 cos 1 2 x a , 0)( 2 xf故则由零点定理零点定理, 一个根. 在区间内至少有一个根. 作业作业 P73. 14 9 (1),10 (1), (2),11, 内容小结内容小结 1. 数列、函数极限的定义数列、函数极限的定义 2. 收敛数列的性质，函数极限存在的局部性质收敛数列的性质，函数极限存在的局部性质 有界性有界性 ; ; 保号性保号性; ; 不等式不等式. . 子数列收敛准则子数列收敛准则(讨论极限不存在）讨论极限不存在） 3. 极限存在准则极限存在准则: 极限的四则运算极限的四则运算. . 1) 1)数列单调有界收敛准则数列单调有界收敛准则; ; 2) 2)夹逼准则夹逼准则(函数极限与数列极限的夹逼准则函数极限与数列极限的夹逼准则) 3) 3)归结原则归结原则(函数极限与数列极限关系函数极限与数列极限关系)的应用的应用 极限唯一性极限唯一性 内容小结内容小结 4. 无穷小量无穷大量及阶的比较无穷小量无穷大量及阶的比较. 5. . 连续函数及局部性质连续函数及局部性质, , 间断点及分类间断点及分类. 有界性有界性 ; ; 保号性保号性; ; 不等式不等式. . 8. 闭区间上连续函数的性质及应用闭区间上连续函数的性质及应用. 极限的四则运算极限的四则运算; ; 反函数、复合函数连续性反函数、复合函数连续性. . 6. 初等函数的连续性初等函数的连续性. 7. 求数列、函数极限的方法求数列、函数极限的方法: 性质性质; ; 准则准则; ; 重要极限重要极限; ;变量替换变量替换; ;等价量替换等价量替换. . 最值定理；介值定理；最值定理；介值定理； 零点定理零点定理 常用极限常用极限 ) 1(0lim qq n n )0(1lim aa n n 1lim n n n 00 ! lim a n a n n ), 1(0lim常数ka a n n k n ), 1(0lim常数ka a x x k x mm mm nn nn x bxbxbxb axaxaxa 1 1 10 1 1 10 lim mn mn , 0 ),; 0, 0( 00 非负常数nmba , 0 0 b a mn , ).(0 )(ln lim常数k x x k x 两个重要极限两个重要极限 1 sin lim 0 x x x 0)(lim 0 xf xx 1 )( )(sin lim 0 xf xf xx e x x x ) 1 1 (limex x x 1 0 )1(lim 0)(lim 0 xf xx exf xf xx )( 1 )(1 lim 0 幂指函数的极限幂指函数的极限 )(lim )(lim )( )(lim 0 00 xv xu xv xu xx xxxx , 0)(lim 0 axu xx bxv xx )(lim 0 b a )( )(lim 0 xv xu xx ,0)(lim 0 xf xx ,)(lim 0 xv xx )( )(1lim 0 xv xf xx e )()(lim 0 xfxv xx )1( 0 1 ( )( ) ( ) lim 1( ) f vf x x xx x f x 常用的等价无穷小量常用的等价无穷小量 xx sin 2 2 1 cos1xx xx tan x n x n 11 ,0时x xx arcsin xx arctan xx)1ln( xe x 1 xx 1)1 ( axa x ln1 1. 练习题练习题 0)sin(lim) 1 1sin(lim n n n nn )1 1 1(sinlim n nn n , 1lim, 1lim 122 k k k k xx不存在！不存在！ ) 1 1 1 sin() 1(lim n n n )1 1 1(sin)cos(lim n nn n ( 1) sin(), 1 11 n n x n 设, 1) 1 1 1 sin(lim n n n n x lim 1. 练习题练习题 )1sin(lim)2 2 n n 不存在！不存在！ 0 )1 1 1(sinlim 2 n nn n ) 1 1 1 sin() 1(lim 2 n nn n )1 1 1(sin)cos(lim 2 n nn n 2. t x 1 t tt t 1)541 ( lim 6 1 6 0 t tt t )54( 6 1 lim 6 0 )54(lim 6 1 5 0 t t 练习题练习题 )( 3 2 )0(1)1 (uuu 练习题练习题 ，令 t x 1 0 1)271 ( lim 551 0 b t ttt aa t t tt t5 27 lim 5 0 5 7 (P74. 综合题综合题1)1) 1)271 (lim 551 0 aa t ttt 5 1 a . 5 7 , 5 1 ba则 t tt b t 1)271 ( lim 5 1 5 0 xx xx x eex eex 222 2 0 ln)ln( ln)ln(sin lim )1ln( )sin1ln( lim 22 2 0 xe xe x x x 练习题练习题 )0()1ln(uuu 3. 0 0 （ ） 4. 练习题练习题 t x 1 2 1 1 0 1 lim t a a t t t t t t )0(ln1uaua u )ln 1 1 (lim 2 2 0 a t t t t )0( x xbxax x )( lim 2 e ba e (1 ) x bxax x x 1 )( 1 lim 2 () 1 ()() lim x ab xab x x a xb )( )( lim bxax abxbax x 5. () ( ()() ()() ab xabxa xb ab xab x xa xb 练习题练习题 练习题练习题 0 )( lim 0 x xf x 4 2 1 )( lim 20 x xf x 1 0 ( ) lim 1 x x f x x e 解解: 2 )( lim 0 x x xf x 2 e 2 0 )( lim x xf x 6. 2 )( lim 2 0 x xf x 2 0 ( ( ) ) ( ) 1lim x f x f x x x f x x (1 ) 解解: (P75. 17) 0x为可去间断点，求, )(1lim0 2 0 ttt t 1 c t tt t 2 22 0 )21 ()1 ( lim c21 021 2 1, c 2 2 1 7. 1 , 2 3 8 c 0x时, 解解: 低阶，而较是较 xxx eex 2 cos .,) 2 1ln() 2 cos1 (的取值范围求高阶的无穷小 xx xxx ee 2 cos 0x 当 1 )1(cos 2 xxx ee ) 1(cos 2 xx ) 2 1ln() 2 cos1 ( xx 53 5 2 1 x 16 ) 2 ( 42 1 32 xxx 8. 1 (0) u eu u 9., sin )( 3 x xx xf )(xf设 求的间断点并指出类型. )(lim 0 xf x 解解: 间断点有: , 3, 2, 1, 0x x xx x )1 ( lim 2 0 , 1 )1 (sin )(1 ( lim)(lim 2 11 x xxx xf xx , 2 )1 ( )(1 ( lim 2 1 x xxx x )1 (sin )(1 ( lim)(lim 2 11 x xxx xf xx , 2 )1 ( )(1 (