机器人原理与应用3PPT课件

.东北大学人工智能机器人研究所2016.9，第三章机器人坐标系，2，机器人是复杂的运动系统，其各个动作是各个要素部件协助的结果。 3，3.1位置和姿势3.2正交坐标系3.3运动坐标表示3.4一次坐标变换3.5机器人坐标系，为了系统、正确地记述各要素部件的作用及其关系，需要导入一系列的机器人坐标系。为了全面确定4，1个物体在三维空间中的状态，需要3个位置自由度和3个姿势自由度。 前者用于确定物体在空间中的具体方位，后者用于确定物体的方位。 物体的六自由度状态称为物体的姿态。 如果h在手的坐标系中表示手的姿势，则添加手的位置来构成手的姿势。 3.1位置和姿势、一般姿势的记述可以通过滚动、俯仰、偏航这3个轴的旋转角来实现。5、飞机飞行姿势的变化、6、3.2正交坐标系、3.2.1正交坐标系和向量的基础知识：右图是用于表示机器人的基本坐标的所谓正交坐标系B(x，y，z )，分别是3个坐标轴的单位向量。 在b系数中存在另一个坐标系H(xH，yH，zH )，其用于表示手坐标。 其中，颜色分别是h系数的3个坐标轴的单位向量。，z，y，x，b，h，z，h，h，x，h，y，a，n，o，j，k，p，端点p相对于机器人手坐标系h，基础坐标系b的定位，单位向量，端点p相对于机器人手坐标系h，基础坐标系b的定位在基准坐标系中可表示为：根据向量点积和交叉积的性质，对于相互正交的单位向量存在、其中，是a与b的向量间的角度，如图3-2所示。 的双曲馀弦值。 向量点的乘积(内积或标量乘积)，即一个向量在另一个向量上的投影等于该向量与另一个向量方向上的单位向量的点的乘积。 而且，如果设a=j(j是a方向的单位向量)，则对2向量方向的单位向量的点乘以与2向量角相等的馀弦。 此外，若设图3-2标量积、b=i(i为b方向的单位向量)，则向量的交叉积(向量积或交叉积)为向量c的模为：为a与b之间的1800以下的角度，若使a按照右手的法则以c为中心从角旋转b，则右手的拇指为c 此时，图3-3的交叉积、a与b的点的积为：点的积与交叉积应用于右手的正交坐标系的单位向量I，j，k，有效：2008-7、11，以及指令矩阵r被称为正交坐标变换矩阵。 如果用列向量表示，单位向量，则某个变换矩阵r，如果用矩阵表示2个向量的点乘方，则可以明确，12，3.2.1.2正交坐标变换矩阵r的性质，考虑，1，-，=，r，r，t，13，3.2.1.3正交坐标变换矩阵的几何意义，上式上述公式示出正交坐标变换矩阵r实现了从手坐标系h向基础坐标系b的正交坐标变换，这能够将一组中的三个相互正交的单位向量变换为另一组中的三个相互正交的单位向量，而各组的单位向量为一个正交的单位向量这还指出了矩阵r被称为正交坐标变换矩阵的原因。 这种正交坐标变换在机器人学中经常被使用。14、3.2.2位置的描述可以在创建一次坐标系后，利用三维位置向量来确定点在该空间内的任何位置。 其中，x、y、z是正交坐标系的3个坐标轴上的p点的坐标成分。 该方法能够容易地表示手坐标(原点)在基础坐标系中的空间位置。 3.2.3姿势的描述，物体的姿势可以用固定在某物体上的坐标系来描述。 如果除了参考坐标系b以外，还存在物体的重心上的正交坐标系h，h系数与该物体之间的空间位置关系一定，则h系数与b系数的姿势能够由h系数的3坐标轴的单位向量相对于b系数的方向表示。假定、15、16、h坐标系中的某个轴的单位向量，即b坐标系的方向与b系的三个轴所成的角度的馀弦值能够表现为成分，则如下图所示。 正交坐标变换矩阵r从、j、l、g、x、y、z、k、b、l、l、a、l、b、I、向量的方向向量直径从、开始称为单向馀弦矩阵，也称为旋转，根据先前的导出：b )姿势根据以上的记述，刚体姿势(方位)使用旋转矩阵来表现，由相对于B系的3个单位主矢量的坐标系A的方向馀弦构成：刚体f在A系的方位和B系在A系的姿势双方被表现。 其中： xByBzB，xAyAzA，19，3.3运动坐标显示，3.3.1平移坐标显示，手坐标系h和基坐标系b具有相同的姿势，但是，h坐标原点和b系统的原点不一致。 用向量记述h系数相对于b系数的位置(右图)，称为h系数相对于b系数的平移向量。 当点p在h系数中的位置为真时，用于b系数的位置向量被称为向量相加，即坐标平移方程式。 下面，以围绕z轴的旋转角为例，讨论围绕坐标轴的某个角度的旋转的表现。 h系统从与b系统重叠的位置绕b系统的z轴转动角度，h系统与b系统的关系如右图所示。 3.3.2旋转的坐标表现为： (1)围绕坐标轴旋转某一角度的表现为，将、21、h系的3个单位向量表现为b系时：实现2个坐标系间的旋转关系的矩阵也称为旋转矩阵r，22， 类似地，当r矩阵围绕x轴旋转：或者围绕y轴旋转：上面的分析指示r矩阵能够表示围绕坐标轴的旋转，这代表了r矩阵的另一个几何意义。 从而，使以x、y、z轴为中心旋转角度的旋转矩阵： xyz、xyz、xyz、xyz、xyz、xyz、24、b系数与h系数的z轴一致，当b系数以z轴为中心旋转角度时，b系数成为h系数。 (2)2个坐标系的投影关系，p，25，矢量直径在h系的3轴投影中分别为u，v，w。 如从上图可看出，r矩阵指示了r矩阵的另一几何意义，其中r矩阵能够将向量直径向手坐标系的投影转换为向量直径向基坐标系的投影。 并且，从(r )、例3.1基础坐标系(B )到手坐标系(E )的旋转变换矩阵为。 (1)若给出描绘两坐标系的相互方位关系(不考虑e的原点位置) (OE(E系的原点)在B上的位置向量(1，2，2 )，则描绘两坐标系的相对位置姿势关系。 具有解：xEyEzE、xByBzB、(1)、(2)、27、(3)旋转关系的两个向量的投影间的关系可以是：令、向量在坐标系Bxy上的投影为u、v、w的向量绕z轴角旋转而得到向量，令向量在同一坐标系上的投影为x、y、z 、y，28，y，x，y轴上的投影对应于轴上的投影，并且如果将第16页和第19页这两个图中所示的相同几何关系进行比较，可以获得与方程(r )相同的结果，但是这时的u，v，w和x，y，z在几何意义上与上述情况不同。 此时，矩阵r用于表示具有旋转关系的两个向量在同一坐标系中的投影间的关系，这表示r矩阵的最后的几何意义。 29、迄今总结了r矩阵的4个几何意义： 1、实现了从手坐标系h到基坐标系b的正交坐标变换。 2 .表示绕坐标轴的旋转。 3 .将矢量直径向手坐标系的投影转换为矢量直径向基坐标系的投影。 4 .表示具有旋转关系的两个向量的同一坐标系中的投影间的关系。 这有助于认识r矩阵的本质，研究机器人坐标系。30、3.3.3复合运动的坐标表示基础坐标系b与手坐标系h的原点不一致，两坐标系的姿势也不同。 对于任意点p，31、以及任意点p，b与h系数中的记述具有以下关系，其中，是相对于b系数的p点的位置向量。迄今为止，以浅深度介绍了物体的基本宏观运动在坐标系中的表现方法，这是学习机器人复杂运动的最基本的数学工具。 在后续章节中经常使用。 此外，可以从方程式(rp )获得复合变换，并且可以将上述方程式看作是坐标旋转和坐标平移的复合变换。 实际上，以c的坐标原点与h系列重合的方式，使c的姿势与b系列一致的方式规定过渡坐标系c。 根据式(r )，能够进行从h系数向转变坐标系c的坐标转换，这里，是点p在c处的位置向量。 (rp )、例3.2已知坐标系B的初始位置姿势与A一致，首先B相对于A的zA轴旋转30度，沿着A的xA轴移动10个单元，然后沿着A的yA轴移动5个单元。 求位置向量和旋转矩阵。 喂，拜托了。 解：因此，如果最后得到：34，3.4次坐标转换，3.4.1次坐标的定义和性质，3.4.1.1次坐标的概念，通常，w=1，则的二次坐标表示如下： 此外，一般将n维的位置向量由(n-1 )维向量表示称为一维坐标表示。35，3.4.1.2次坐标的性质，(1)次坐标的不唯一性是指某点的次坐标中存在无限多点，不是单一值。 例如，如果是某个点的排列坐标，则也是该点的排列坐标。 通过一次坐标的定义，一次坐标的原点和坐标轴表示一次坐标或坐标原点，并且表示代表OX轴、OY轴或OZ轴的无穷远点，即直角坐标的OX轴、OY轴或OZ轴。 在、36、37、3.4.2导入一次变换和一次矩阵、一次坐标后，看看如何用一次坐标表示上一节所述的内容。 在上一节的最后，我们在笛卡尔坐标系中表示物体的复合运动，最后得出的结论表示来源的变换。 现在，我们把以下的公式用同一坐标表现：，a矩阵称为同一矩阵，在机器人学中是重要的用语，把旋转和移动组合成一个44矩阵。 在这些矩阵中，33个旋转矩阵是13个零矩阵，表示移动站31个矩阵。 其次，用均匀矩阵表示物体的运动。39，3.4.2.1用齐次矩阵表示平移变换，设定向量并与向量相加的v即(b )，u被h变换后变为向量v而求出变换矩阵h，即考虑到(c )式(c )和式(b )的等价，从式(a )可知平移变换为二此变换矩阵具有即使将各要素乘以非零的要素，该变换也不会变化的性质。 由，由此可知，41，3.4.2.2用一次矩阵表示旋转变换，根据直角坐标和一次坐标的关系，容易围绕x，y，z轴旋转角度的对应旋转变换，由于，纯旋转的一次变换矩阵中P31为零矩阵，因此x，y， 由于绕z轴旋转角的基本一次变换矩阵是，这种单纯的平移的一次变换矩阵，R33=I33 (单位矩阵)，所以可以写沿着x，y和z轴移动Px，Py和Pz单位的基本平移变换矩阵： 43、如果已知一个矢量u绕z轴旋转90而成为v，则在旋转矩阵中，例如一个矢量u绕x、y轴分别旋转90而成为v，在旋转矩阵中， 44 3.4.2.3用齐次矩阵表示旋转加法平移变换，结合这2个变换用齐次矩阵表示时的齐次变换矩阵为，45，因此可知齐次变换矩阵中旋转矩阵和表示平移的矩阵确实被分离。 另外，一般而言，46、3.4.2.4以齐次矩阵来表示手的旋转和移动，、的旋转通过由围绕x轴的滚转、围绕y轴的节距和围绕z轴的滚转依次构成的复合旋转体使用简化符号来表示、47、以及上述方程式表示手的旋转运动。只要手在旋转运动以外也能够进行移动运动，则仅通过用表示移动的矩阵块代替上式中的排列矩阵的第4列，就能够得到包含3个旋转和3个平移的6自由度运动的排列矩阵。48，3.4.3次变换的性质，3.4.3.1变换过程的相对性相对变换，先前介绍的所有旋转和平移变换都是针对参照坐标系b系统的。 例如，在上述变换过程中，手坐标系h首先以基准坐标系b为中心旋转，接着直线移动。 这种变换的顺序是从右向左进行的。 这样的过程可以按相反的顺序进行，即从左到右。 此时，可理解最初的手坐标系h在基础坐标系b上直线移动而以当前的手坐标系h的轴为中心旋转。49，典型的转换过程分为两种情况： (1)描述平移和旋转的转换c，将坐标系的转换t乘以左侧，可以相对于静止坐标系平移和旋转。 (2)使用记述直线移动或旋转的变换c，将坐标系的变换t乘以右侧时，直线移动或旋转相对于运动坐标系进行。 对于、和固定坐标系运动，对于活动坐标系运动，51、3.4.3.2变换过程的可逆逆变换在机器人学中通常使用齐次变换矩阵的逆矩阵，接着导出齐次变换矩阵的逆矩阵求法。 因此，以矩阵的形式表示上述两个公式，即确立作为52，3.4.3.3变换过程的封闭性的变换方程式，在求解机器人的运动学和动力学方程式时，总是求解变换方程式。 在这些变换方程中，以两种或更多种方式描述一个坐标点。 (1)机器人变换z :基准坐标系U基准坐标系b变换a :基准坐标系B手坐标系h变换e :手坐标系H加工工具T(2)变位机变换p :基准坐标系U变位机v变换q :变位机V被加工材料w、53，该关系也能够用有向图表示，参照右图。 在我们解开以上方程式求解变换a之前，方程式必须进行左相乘并且右相乘，实际上可以从任何闭合变换图表变换得到方程式。 从一个变换弧开始，正箭头方向变为正方向，反箭头方向变为反变换，连续的列(不包括起点变换)被写入直到与该变换弧邻接为止，包括起点变换时，得到一个单位变换。3.1.2.5旋转变换式、1 .旋转变换式是通过A系统原点的单位向量，求出从k旋转角到B系统的旋转矩阵R(K，)。 因此，我们展开上述公式并结合图3-11的尺寸链图、以及上述公式的右端，利用旋转矩阵的正交性简化整理。 在此，s