计算方法之计算矩阵的特征值和特征量ppt课件

1,定义设A为n阶方阵，若存在常数与n维非零向量X使AX=X成立，则称为方阵A的特征值，非零向量X为A的对应于的特征向量。,由AX=X(A-E)X=0此方程有非零解的充要条件是:|A-E|=0,即：,特征多项式方程。,2,在线性代数中按如下三步计算：1、计算出A的特征多项式A-E；2、求出特征方程A-E=0的全部根i3、将i代入(A-iE)X=0求出基础解系，即得A的对应于i的特征向量，而基础解系的线性组合即为A的对应于i的全部特征向量。,3,解：计算特征多项式方程，即,解得A的两个特征值：1=4，2=2。,（1）1=4将1=4代入(A-E)X=0得(A-4E)X=0,4,取对应于1=4的基础解向量,则对应于1=4的全部特征向量为：,（2）2=2将1=2代入(A-E)X=0得(A-2E)X=0,取对应于2=2的基础解向量,5,方法局限性：当矩阵阶数较高（如阶数n4）时，将面临两方面的难题：（1）多项式的计算对舍入误差非常敏感；（2）求高次方程的根尤其是重根存在困难。,则对应于2=2的全部特征向量为：,特,征,值,的,数,值,计,算,方,法,1、幂法：求按模最大特征值，即,2、反幂法：求按模最小特征值，即,3、Jacobi法：求实对称矩阵所有特征值和特征向量。,6,幂法是一种迭代法。基本思想：把矩阵的特征值和特征向量作为一个无限序列的极限来求得。如对于n阶方阵A，任取一个初始向量X(0)，作迭代计算X(k+1)=AX(k)则可得迭代序列X(0),X(1),X(k),，序列的收敛情况与A的按模最大特征值有密切关系，分析序列的极限，即可得到A的按模最大特征值及特征向量的近似值。,7,下面介绍两种简单情况：（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根（二）按模最大特征值是互为反号的实根,8,定理设n阶方阵A有n个线性无关的特征向量Xi，其对应的特征值为i（i=1,2,.,n)，且满足：|1|2|n|则对任何非零初始向量V(0)（至少第1个分量不为0）所构成的迭代序列V(k+1)=AV(k)（k=0,1,2,）有：,其中,表示,中的第j个分量。,（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根,9,证明：因为A具有n个线性无关的特征向量Xi（i=1,2,.,n）而任一n维的非零向量，如V(0)：,总可以用Xi的线性组合来表示：V(0)=1X1+2X2+.+nXn（其中10）取V(1)=AV(0)V(2)=AV(1)=A2V(0),10,V(k+1)=AV(k)=Ak+1V(0)以构成向量迭代序列。,由矩阵特征值的定义有：AXi=iXi（i=1,2,.,n）则有,11,同理可得：,V(k+1)的第j个分量：,V(k)的第j个分量：,那么,12,由已知条件：,故有：,所以：,定理的证明已给出求矩阵最大特征值的方法：,（1）取一非零初始向量V(0)，如V(0)=(1,1,.,1)T（2）作迭代计算：V(k+1)=AV(k)（3）当k充分大时取：,13,或者用各个分量比的平均值作为最大特征值：,（4）求1所对应的特征向量：,由：,可得：,而：,故：,则V(k)即为所求对应1的特征向量。,14,例用幂法求下面的按模最大特征值及对应的特征向量。,（1）即初始非零向量V(0),（2）作迭代计算V(k+1)=AV(k)：,15,最大特征值的计算：,特征向量：V(11),16,设n阶方阵A有n个线性无关的特征向量Xi，其对应的特征值为i（i=1,2,.,n)，且满足：|1|=|2|3|n|，设其中10,1=-2,（二）按模最大特征值是互为反号的实根,由迭代变换：,17,迭代计算中V(k)呈规律性摆动，当k充分大时有,则有：,同理：,（k充分大时）,再由：,可得：,取,18,规范化幂法运算,由,（1）当|1|1时，V(k)与V(k+1)的各个不等于0的分量将随k的增大而过快地增大，而可能“溢出”；（2）当|1|0,此时迭代向量序列V(k)将正常收敛。,23,由向量知识：X1是对应1的特征向量，那么,也是对应1的特征向量。即可用U(k)作为所求对应于1的特征向量。,由,那么：,24,即：当k充分大时可用V(k+1)中的最大分量作为所求最大特征值1,25,解：取初始向量V(0)=U(0)=(1,1,1)T，结果如下：,由表可知，最大特征值为：1=44.99953对应特征向量为：(1,0.33333,-0.66667)T,26,此种情形下，按模最大特征值为,（二）按模最大特征值1是单实根，但1|3|n|，设其中10,1=-2,（三）按模最大特征值是互为反号的实根，即,此时迭代向量序列V(2k)和V(2k+1)将分别收敛于两个互不相同的向量。当规范化运算到k充分大时停止，再作一次非规范化运算：,则按模最大特征值：,而特征向量仍为：,28,验证：当k充分大时,29,故有：,30,规范化幂法算法描述（1是单实根，且10）一、数据说明ann存放方阵A中各元素；V0n表示迭代式中的V(k);V1n表示迭代式中的V(k+1);Un规范化向量lamda按模最大特征值EPS精度控制量二、操作步骤Step1输入A中元素,31,Step2V0n(0,0,.,0)T；V1n(1,1,.,1)TStep3While|V1-V0|EPSDOStep4V0V1;Step5计算V(k+1)=AV(k):UiV0i/max(V0i)计算V(k+1)=AU(k)Step6计算|V1-V0|EndWhileStep7Output(lamda=max(V1n),Un),32,设待求n阶矩阵A可逆，且其特征值为i（i=1,2,n）对应的特征向量为Xi，二者满足关系式AXi=iXi等式两边同时乘以A-1，得Xi=iA-1Xi，即,由特征值与特征向量的定义，知,为A-1的特征值，而Xi为对应的特征向量。,33,显然，如果i是A的按模最小特征值，那么其倒数则是A-1的按模最大特征值。问题的解决：求规范化幂法求出A-1的按模最大特征值，取其倒数即A的按模最小特征值。即,考虑A-1的计算烦琐，将上式变换为：,反幂法。,34,计算步骤：（1）将A进行LU分解；（2）取初始向量U(0)=V(0)计算V(1)=AU(0)U(1)=V(1)/|V(1)|，代入AV(2)=U(1),求V(2)U(2)=V(2)/|V(2)|，代入AV(3)=U(3),求V(3)当|V(k+1)V(k)|0，当变换次数k充分大时，使满足,此时，矩阵A(k)的主对角线元素即所求特征值。,另外：在每次选取正交矩阵V(p,q,)时，若使,即选取旋转主元，则可加快正交变换的效率。,如,取,49,雅可比方法的算法描述先对下式做简化处理：,令,则有,求出此方程的根，即确定了正交矩阵V(p,q,)的旋转角度，分两种情形考虑：（1）若app=aqq，则t=1，取=45（2）若appaqq，则t取绝对值较小的根,50,确定了旋转角度后即可计算,一、数据说明ann初值为n阶实对称A，结果为对角矩阵，其主对角线元素为所求特征值；v_pqnn每次变换前所选取的正交矩阵；vnn各个正交矩阵的乘积V1V2Vk，其列向量为对应某特征值的特征向量；EPS误差控制量,51,二、操作