第七章线性变换习题

线性变换习题中南大学数学与统计学院学业辅导室,STAYHUNGRY,STAYFOOLISH.JUDGENOTACCORDINGTOTHEAPPEARANCE.,主讲人：闵家祺,目录/CONTENTS,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,1,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例1：设为向量空间V的一组基，,对V中任意n个向量存在唯一的线性,变换使,证明：,规定,易知为V的一个变换，下证它是线性的.设,;,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,为V的线性变换.,规定,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,1,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,证明：,例1：设为线性变换，若,证：对k作数学归纳法.,对两端左乘，得,对两端右乘，得,上两式相加，即得,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,对两端左乘，得,对两端右乘得,，得,假设命题对时成立，即,由归纳原理，命题成立.,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例1.设向量空间的线性变换为,求在标准基下的矩阵.,解：,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例2：设为向量空间V一组基，线性变换在,这组基下的矩阵为,为V的另一组基，且,（1）求在下的矩阵B.,（2）求,解：（1）由定理7.4，在基下的矩阵,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,（2）由有,于是,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,解：A的特征多项式,例1：设线性变换在基下的矩阵是,求特征值与特征向量.,故的特征值为：（二重）,把代入齐次方程组得,即,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,它的一个基础解系为：,因此，属于的两个线性无关的特征向量为,而属于的全部特征向量为,不全为零,把代入齐次方程组得,解得它的一个基础解系为：,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,因此，属于5的一个线性无关的特征向量为,而属于5的全部特征向量为,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例2：设求,解：A的特征多项式,用去除得,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,1,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,下的矩阵为,基变换的过渡矩阵.,问是否可对角化.在可对角化的情况下，写出,例1：设复数域上向量空间V的线性变换在某组基,解：A的特征多项式为,得A的特征值是1、1、1.,解齐次线性方程组得,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,故其基础解系为：,所以，,是的属于特征值1的两个线性无关的特征向量.,再解齐次线性方程组得,故其基础解系为：,所以，,是的属于特征值1的线性无关的特征向量.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,线性无关，故可对角化，且,在基下的矩阵为对角矩阵,即基到的过渡矩阵为,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,1,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,线性变换在此基下的矩阵为,(1)求及,(2)在中选一组基，把它扩充为V的一组基，,并求在这组基下的矩阵.,并求在这组基下的矩阵.,(3)在中选一组基，把它扩充为V的一组基，,例1：设是向量空间V的一组基，已知,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,解:(1）先求设它在,下的坐标为,故,由于有在下的坐标为,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系：,从而,是的一组基.,由于的零度为2，所以的秩为2，,又由矩阵A，有,即为2维的.,再求,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,(2)因为,从而有,所以，线性无关，,就是的一组基.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,而,可逆.,从而，线性无关，即为V的一组基.,在基下的矩阵为,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,(3)因为,可逆.,而,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,从而线性无关，即为V的一组基.,在这组基下的矩阵为,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,1,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,若则与都是子空间.,证：,对存在使,于是有，,为的不变子空间.,其次，由,对有,例1:,于是,故为的不变子空间.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例2:求的最小多项式.,解：A的特征多项式为,又,A的最小多项式为,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例1：K阶若当块,的最小多项式为,证：J的特征多项式为,而,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,的最小多项式为,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例1：用初等变换化矩阵为标准形.,解：,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,即为的标准形.,不变因子为,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,1,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例1：求矩阵的不变因子,又,而,解：,的不变因子为,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,9个,则A()的初等因子有7个，它们是,例2：若12阶复矩阵A()的不变因子是:,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例1证明：下列三个矩阵彼此都不相似.,证：的不变因子是：,的不变因子是：,的不变因子是：,故的不变因子各不相同.,彼此不相似.,Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.Booksarethefoodforthehungryofgreatmind.,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例1.求矩阵A的初等因子,解：对作初等变换,A的初等因子为:,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,若当块,的初等因子是,证明：,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,此即的级行列式因子.,又有一个级子式是,所以的级行列式因子为1.,从而，的级行列式因子皆为1.,的不变因子是:,故的初等因子是:,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,若当形矩阵,其中,则J的全部初等因子是：,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,证明：的初等因子是,与矩阵等价.,于是,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,与矩阵,等价.,由定理，J的全部初等因子是：,知行合一、经世致用,CentralSouthUniversity,例4：求矩阵A的若当标准形.,解：,知行合一、经世致用,Cent