数学物理方程举例和基本概念

工程数学、数学物理方程和特殊函数、第一章的典型方程和解条件、第一章引言如位移、时间、温度、密度、电场强度等数学发现真理的主要工具是归纳和仿真。 加号为探索自然界的奥秘，用数量形式描绘了由微分方程式牛顿，相应的物理法则确立的某物理量间的相互制约关系，=，通用方程式反映了同种物理现象的共性，与具体的条件无关。 本文概括地描述了一些常用于物理系统数学建模的物理规律：一般来说，由于浓度的不均匀性，物质从高浓度向低浓度迁移的现象叫做扩散。 例如气体、液体、固体都有扩散现象。 参考文献：数学物理方程式学习指导和练习题解答陈才生科学出版社2010年，数学物理方程式和特殊函数学习指南王元明高等教育出版社2004年，数学物理方程式和特殊函数学习指导和练习题解答赵振海大连理工大学出版社2003年， 数学物理方法学习指导姚端科学出版社2001年数学物理方程式和特殊函数导教学考试张慧清西北工业大学出版社2005年，超星数字图书馆(注：网络图书馆)，数学物理方程式：方程式的一些基本概念，定义：主要指物理学和其他自然科学、工程技术产生的偏微分方程式，与之相关的常微分方程式，积分方程式，微分方程式例如，双曲型、抛物型、椭圆型、典型方程、数学物理方程的发展历史简单，偏微分方程理论的起源可追溯到18世纪(微积分产生后)，人们将力、学中的一些问题归结为偏微分方程进行研究。 例如，1715年，泰勒(17，46年，达兰贝尔)研究了弦的振动规律，归结为一维弦的振动方程式。 这场辩论引起了许多数学家的关注。 例如，欧拉(1759年)和丹贝努利(1762年)通过声波的研究将该方程式推广到二、三维。 就这样，从弦振动的研究开始，建立了一门名为数学物理方程式的学科。 然后逐步理解了流体运动、弹性体平衡与振动、热传导、电磁相互作用、原子核与电子相互作用、化学反应过程等自然现象的基本规律，以偏微分方程的形式求解了典型问题。 例如，1780年，Laplace在研究重力势的工作中提出了Laplace方程式。 Euler和Lagrange在流体力学的工作中，Legendre和Laplace在天体力学的工作中研究了调和方程。 这些都丰富了这门学科的内容。 数学物理问题的研究兴起于19世纪，很多数学家为数学物理问题的解决做出了贡献。 例如，Fourier(1811年)在研究热传播的过程中提出了三维空间的热传导方程。 他的研究对偏微分方程的发展有很大的影响。 Cauchy给出了第一个解的存在定理，并开始了PDE的现代理论。 到19世纪末，二次线性PDE的一般理论基本确立，开始形成名为PDE的学科。 从20世纪开始，随着现代科学和技术的进步，数学物理也呈现出了新的面貌。 新的数学物理方程、理论(广义函数论和索布雷夫空间)、方法不断涌现。 例如：爱因斯坦方程式(引力场)、Yang-Mills方程式(规范场)、偏微分方程式、方程式中除了一些参数和未知函数以外，还包含未知函数的偏微分方程式(也可以仅包含偏微分方程式)的方程式称为偏微分方程式。 定义、一般形式：方程式的次数、方程式相关的未知函数偏微分的最上位数称为偏微分方程式的次数。 方程式的分类，线性偏微分方程式在一个偏微分方程式对未知函数及其各阶的偏微分方程式为线性(一次)，其系数仅依赖于自变量时，称为线性偏微分方程式。非线性偏微分方程式在非线性方程式对未知函数的所有最上位偏微分方程式均为线性(一次性)的情况下，称为伪线性偏微分方程式。 非线性方程对未知函数的所有最高阶偏微分方程都是线性的，当系数不包括未知函数及其低阶偏微分方程时，称为半线性偏微分方程。 线性偏微分方程式中，方程式中不包含未知函数及其偏微分系数的项称为自由项。 线性偏微分方程式，在自由项为零时，在次方程式、自由项不为零时，在次方程式、2次、2次、2次、4次、2次、1次、1次、3次、线性、线性、非线性、非线性、非线性、非齐次、齐次、非齐次、半线性、伪线性、2次、2次、非线性、半线性、非线性、伪线性、非线性、完全非线性， 这是因为n阶常微分方程的解通常依赖于n个任何常数，而对于n阶偏微分方程，其解通常依赖于n个任意函数。 注意：一般而言，任意函数的数目等于方程的阶数。 特征2 :偏微分方程解的存在性与常微分方程相比有较大差异。 注：常微分方程是相当一般的条件，解局部存在。 然而，当偏微分方程条件非常好时，解也不存在于非常小的局部范围内。 特征2 :解具有重叠性，注：解的重叠原理适用于任何次数的线性方程式，但不能成立非线性方程式。 决定解的条件和决定解的问题，决定解的条件的定义，决定解的条件是决定数学物理方程式的解中包含的任意函数和常数，使解具有唯一性的充分的条件。 关于决定解的条件的种类、个数：时间t的n次偏微分方程式，如果不给出n个初始条件就无法确定解，定义：表现物理过程的边界状况的数学式、种类、第一类边值条件、第二类边值条件、第三类边值条件、个数：类似于初始条件时，系统由不同的介质构成， 由于物理合理性要求，必须给两个不同介质的边界提供两个联系条件，因此有时需要给未知函数添加单值、有限、周期性等约束条件，这些约束条件包括自然边界条件、定解问题、初始值问题、由通用方法和初始条件组成的定解问题、柯西问题、边值问题、 由通用方式和边值条件组成的定解问题，由混合问题通用方程和初、边值条件组成的定解问题.注意：通用方程只能反映同种现象的通用规则，即通用性来描述。 定解条件描述物理问题的特性，即个性。 定解问题、微分方程式的解、定解问题的适应性、微分方程式的解假定方程式的次数为n，在考虑了函数u的区域内具有n次连续的、连续的偏导函数，如果能够代入方程式而使方程式成为恒等式， 将u称为方程式的解(或古典解)。若方程式解u的式子中包含n个任意常数(或函数)，则u称为方程式的解(或一般解)，将解中的任意常数(或函数)在解条件下决定的解称为解问题的解。 未经验证的解叫做形式解。 注：除古典解外，根据实际应用的需要，研究各种广义意义上的解。 他们用弱的意义满足方程式，这个解叫广义解。 决定问题的适应性，决定解决问题是否能够实际反映出来，或者解决问题的方法是否恰当，在数学上，主要从以下三个方面进行验证：解的存在性：即在给定的解的条件下，解问题中是否存在解？ 解的唯一性：即在给定的解条件下，如果有解决问题的解，是唯一的吗？ 只要确定了问题解的存在的唯一性，就可以用合适的方法找出问题解。解的稳定性：解的条件或方程式的参数稍有变化时，解也只是稍有变动，该解问题的解是稳定的，否则称为不稳定。 如果存在一个解决方案的解，仅有一个解决方案连续依赖于解决方案的初始数据或边界数据，那么将其称为不适当的解决方案。 注意：研究不合格问题也有意义，如流体力学、电磁学、金属探矿、气象预报等实际问题，比如，对于某个物体，如果希望在某个时刻具有实际的温度分布，为了达到这个目的，在初期物体必须具有什么样的温度分布？ 这是一个不确定的问题，与数学物理问题相反。 注：对不适当问题的研究成为偏微分方程的重要研究方向。 1923年，阿达玛(J.S.Hadamard，法国)建立了适当的坐标系，明确了基本步骤，推导出数学物理方程式，1，研究的物理量是什么，2，研究的物理量遵循哪个物理法则？ 由此，用数学公式表示该作用，3、简化、整理研究的问题的偏微分方程式(通用方程式)。 画任意微单元，分析相邻部分及其相互作用的弦振动方程式和解的条件，物理模型(弦的微横向振动问题)， 式被称为弦的强迫横向振动方程式(也称为一维不对称次波动方程式) .但是，力学上弹性棒的纵向振动、建筑物的剪切振动、潮汐波、地震波、管道中气体的小扰动的传播、电报方程式等问题，只能用该方程式来描述。 这些物理现象的共性是振荡产生波的传播。 的未知函数表示的物理含义不同。 解条件的提取法、初始条件、(初始状态)、注：未知函数的时间为二次导数，需要两个初始条件！ 边缘值条件、(边界上的制约)、注：研究在没有边界的区域中的问题当然不需要边界条件，但是解有时需要限制无穷远处的渐进状况，这实际上也是边缘值条件： (Dirichlet边界条件)、(Neumann边界条件)、(Robin边界条件)，两端弦的张力在垂直于外部的方向上两端不受垂直方向的外力作用(也就是说，可以沿垂直方向自由滑动)。负值必须分别等于在垂直方向上施加的外力，即，在这种情况下，边界条件称为自由边界条件，而热传导方程(也称为传输方程)和恒定分辨率条件、物理模型(热传导问题)、物理定律：特例、说明和方程通常称为热传导方程。 可以用这种方程式不仅描述热传导现象，而且还描述了例如气体的扩散、考虑液体渗透的半导体材料中的杂质扩散等物理过程。 因此，该方程式也称为扩散方程式，是决定解的条件的提取方法，初始条件，注：由于未知函数是关于时间的一次导数，所以初始条件只要一个即可，边缘条件，牛顿冷却法则：单位时间内从物体表面的单位面积流向外部的热量q， 物体外表面温度与外表面温度差成比例.薄膜平衡方程与定解条件，物理模型(薄膜平衡问题)，假设：物理原理：位移u方向的张力与重力的合力等于0平衡状态； 如果、是微翘曲薄膜平衡方程式、的方程式是二维泊松方程式，一般而言薄膜的重力可以忽略，即f=0，则方程式被称为二维加方程式(或调和方程式)， Poisson方程和Laplace方程可以描述许多物理现象的静电场的电位分布、热传导问题中的稳态温度分布、引力电势、流体力学中的电势和弹性力学中的调节电势，一般地说，自然现象是稳态的、稳态的，即与时间无关的，由于物理量不受限制说明：例如，稳态温度分布、热传导物体内的热源分布和边界条件不随时间变化，热传导方程式相对于时间的偏微分项为零，因此，上述热传导方程式为以下的正方程式和泊松方程式：薄膜振动方程式、(二维波动方程式)、 (薄膜平衡方程式)、初始条件、(初始状态)、注：因为这些都记述了稳定状态，所以与时间无关，没有提及初始条件！ 边缘值条件、注意：边界条件不限于上述3种，其他边界条件(热传导中有辐射条件)，有时也有非线性边界条件。在一些重要的基本原理、叠加原理、物理学中，由一些不同的单个原因导致的综合效果等于由这些不同的单个原因导致的单个效果的累积，这是叠加原理；应用条件，例如： 1 .物理上若干外力作用于一个物体而产生的加速度(2)若同时存在多个电荷，则这些电场重叠而形成电场，某点的电场强度是在各个电荷单独存在的情况下在该点产生的电场强度的矢量和， 3 .在点电荷系统中产生的电场的某个点的电位，在各个点电荷单独存在的情况下，在该点产生的电位的代数和被称为电位重叠原理，是通用方式、定解条件都是线性的线性定解问题。 数学表示：可以将复杂的定解问题看作比较简单的部分的线性重叠，对于从这些部分得到的解的线性重叠所给出的形式解，利用本来的解问题的解表现了“化归”思想的重叠原理，实际上对于第二类边界条件和两端的不同种类的边界条件，重叠原理也成立并重叠考虑到问题的分解、重叠原理II .非齐次方程式、(积分形式的)重叠原理III .非齐次方程式重叠原理IV .带齐次边界条件的初始边缘值问题，例如弦振动的初始值问题，利用重叠原理IV可以分解为以下两个问题，说明： 利用Duhamel原理求解，从物理意义上看，该振动可视为仅强迫振动与仅初始状态振动的合成，且原问题可分解为以下三个问题，利用叠加原理IV解决问题(1)另外，还有以下两个问题和齐次化(Duhamel )原理(杜梅尔、法国、 1797-1872 )、可分解为非稳态、非齐次线性偏微分方程、齐次条件定解问题(柯西问题、初始值问题)的重