现代控制理论第4章2

4.3.3线性系统和非线性系统的稳定性分析、线性稳态的渐近稳定性意义与非线性系统意义完全不同。 在线性稳态系统中，如果平衡状态局部地渐近稳定，其在宽范围内渐近稳定。 然而，在非线性系统中，大范围内的非渐近稳定的平衡状态可局部地渐近稳定。 对于非线性系统的分析，基于Lyapunov第一方法的分析方法是不够的，可以使用基于Lyapunov第二方法的非线性系统的分析方法类索引法、Schultz-Gibson变量梯度法、鲁里叶(lure)法和波夫方法等。 另外，主要研究非线性系数稳定性分析的两种方法1，克拉斯基方法2，变量梯度法，定理4.7非线性系数方程是已知系数的平衡状态为坐标原点xe=0，即f(xe)=0，f(x )相对于xi微小，系数的雅可比矩阵，系数在xe=0处逐渐稳定的充分条件为对于任何n维状态向量x，对于任何n维状态向量x，一些(或一些)，例如对系统的状态方程式进行曲线键法测试以确定xe=0在系统平衡状态下的稳定性，解：或对有小区权重规范的定理的说明： (1) 该定理仅为非线性系统的一个平衡状态提供了稳定的充分条件，除非为负值，否则不得出任何结论。 (2)负所需的条件是F(x )主对角线上的所有元素都不为零，即，(3)线性系数不是非线性系数的特例，该定理也适用于线性稳态系数。 如果a不是奇异的话就是负定时，系统的平衡状态是稳定的。 (4)克拉斯基法主要应用于可线性表示的函数，即，(a )可解析非线性特性的单值函数，(b )非线性函数对很小，(c )，变量梯度法，1 )梯度概念，在一个多变量函数v(x1，x2，xn )中存在针对n个变量xi的导数。 此外，在控制问题中，偏导函数是n维空间中运动质点的运动到达某一位置时沿着各坐标方向的变化率。 以反映运动质点向各坐标方向的变化率的各偏微分系数为成分，构成n维向量，将该向量称为函数v(x1、x2、xn )的梯度。 习惯上用符号 v 表示。2)矢量的曲线积分、变力功问题：沿着被赋予变力f的路径l进行的功能可以用曲线积分来计算。 积分的结果与积分路径的选择无关。3 )旋转方程式若向量的曲线积分与积分路径的选择无关，则向量的旋转必定为零。 另外，由于向量的旋转角度为零，所以构成的雅可比矩阵必定是对称矩阵。4 )变量梯度法求李氏函数，式中为维状态向量，是变量，和t的n维向量函数。 假定系统的平衡状态为状态空间的原点，即xe=0，则要获得的李氏函数用以获得v(x)=v(x1，x-2，李氏函数的方法就是获得适当的梯度向量v。 求v时，利用以下两个条件：1)v为一个向量，因此n维广义旋转度为0，v必须满足从下一旋转度方程：2)v计算出的v(x )和李氏函数的稳定性要求。 或者，总结上述分析，如果非线性系数的平衡状态xe逐渐稳定，则变量梯度方法可以是以下总结用于确定李氏函数的过程：1)v或任何列向量，即：方程式中： aij(i，j=1，2，n )可以是未定系数或常量，或者可以是时间t内的函数或状态变量的函数，通常为aij 2 )用v写的，即，4 )再次验证负定性。 这是因为旋转方程的确定系数可能会改变它。 5 )根据v的线积分求出积分路径，由式(4-44 )给出。 6 )确定平衡点处的渐近稳定性范围。 注意：如果无法使用此方法构建适当的李氏函数，则不意味着平衡状态不稳定。 例如：利用变量梯度法构建非线性系统方程，分析系统的稳定性。解： (1)假设1)v(x )的梯度为(2)写的形式，求出.(4)李氏函数，如果满足旋转方程式的条件，则可知李氏函数是肯定的。4.4线性稳态系统的李雅普诺稳定性分析仅假定a为非奇异矩阵，具有唯一的平衡状态，其平衡状态的稳定性可以容易地用李雅普诺第二方法研究。 另外，沿任何轨迹的时间导数要求对正定性或渐近稳定性的负估计，因此，对于方程式(4.3)的系统，渐近稳定的足够条件是q正定性。 这可以归纳为以下定理。 为了确定nn维矩阵的有效性，小区权重准则，即矩阵正则的充分条件是矩阵的所有主君矩阵式都是正值。定理4.9线性稳态系统在平衡点渐进稳定的充分条件是：尤其是当时所期望的(正半定)。 (1)当系统仅包含实际状态向量和实际系统矩阵a时，Lyapunov函数为零，而当Lyapunov方程不沿任何轨迹等于零时，q取正的半固定矩阵如果，(4)选择的矩阵q是正定的(或者有时是正半定的)，最终的判定结果与矩阵q的选择的差异无关。 为了决定，(5)矩阵p的各要素，可以使矩阵和矩阵-Q的各要素的对应相等。 为了确定矩阵p的每个元素，产生n(n-1)/2个线性方程。 在使用表示矩阵a的特征量时，各特征量的权重与特征方程式的根的权重一致，如果是两根根的和，则唯一地决定p的要素。 注意，如果矩阵a表示稳定系统，则总是不为零。 (6)在确定是否存在正规Hermite或实对称矩阵p时，为方便起见，将I设为单位矩阵。 因此，p的各个元素由下式确定，验证p是否正确。 此外，上式此时，实对称矩阵p可由下式决定，解可取Lyapunov函数从方程式求解，为了验证所获得的p的正确性，可验证各主人公的行列式，展开矩阵方程式，获得联立方程式，显然，p为正。 因此，原点处的平衡状态在宽范围内逐渐稳定，Lyapunov函数此时将尝试确定如图4.3所示的系统的增益k的稳定范围。 假设当k的稳定范围被确定时，图4.3控制、以及解系统的状态方程易于确定，假设输入u为0。 于是，上式可以写成(4.4)(4.5)(4.6)，等于零时必定为零。 由式(4.6)得出，除原点外不为零，因此选择上式的q。 由式(4.4)式(5.6 )可知，原点为平衡状态，仅在原点为零。 因此，能够采用式(4.7)中定义的矩阵q来分析稳定性。 还可以验证以下矩阵的等级： 如果一定是零，一定也是零。 由式(4.4)得出，因此很明显，等级为3。 因此，这种q可用于Lyapunov方程。 求解如下的Lyapunov方程式可以求解、p各元素，因此此时系统在Lyapunov的意义上是稳定的，即原点渐进地稳定在大范围内。相对于线性稳定系统，不仅可以利用李雅普诺夫的基准逐渐判断原点平衡状态是否稳定，还可以估计自由运动朝向原点平衡状态的收敛速度。 4.5线性稳态系统稳态自由运动的衰减率性能估计，考虑线性稳态自由系统，显然越小，自由运动的衰减相应越慢。 4.5.1衰减系数，系统的李雅普诺夫函数是系统状态的正定函数，是系统某“能量”的尺度，是“能量”的时间变化率。 在、线性稳态系统中，可以随时间决定衰减的上限。 一旦决定了，就可以随时间衰减上界。4.5.2计算的关系式、(4.15 )、证明(略)。 几何表示状态空间的超平面上的极小点处的标量值。 的双曲馀弦值。对于二次线性稳态系统的状态方程式，求出系统的Lyapunov函数，求出从闭曲线v(x)=100边界上的一点到闭曲线v(x)=0.05内的一点的响应时间的上限。 解:显然平衡状态是原点。 请尝试取Lyapunov函数。 实对称矩阵p可由下式确定。 上式可以写成。 可以展开矩阵方程组来求解联立方程组。 我们可以从方程式中解出来。 4.6离散时间系统的运动稳定性及其准则与连续时间系统相似，其中对于结论1离散系统的大范围接近稳定准则离散系统(4.17 )，存在相对标量函数，并且如果可选地满足：(ii )，当实际运行结论1时，条件(ii )是可维护的因此，可以相应地缓和，得到保守性少的李雅普诺夫稳定性定理。原点平衡状态下的x=0是大范围渐近稳定。 (iv )当时有，(ii )为负半固定，(I )为正定的结论2离散系统的广范围渐近稳定基准对于离散时间系统(4.17 )，存在相对标量函数，任意满足：时，由结论1、结论3证明。 我这样否定。 当时。 证明：线性稳态离散系统李雅普诺夫稳定性分析，定理4-10 :将线性稳态离散系统设为x(k 1)=Gx(k )，xe=0式中： xn维状态矢量Gn*n常数非奇异矩阵，则在平衡点在xe=0的大范围内渐近稳定的充分条件是， 对于任何给定的正则对称矩阵q，存在正则对称矩阵p并满足下列矩阵式： gtpgp=-q，v(x)=xT(k)Px(k ) :将所选择的李氏函数设为vx(k)=xT(k)Px(k )式中： p为正的实际对称矩阵。 v x (k ) =v x (k1) -v x (k ) =XT (k1) px (k1)-XT (k ) px (k )= GX (k ) tpgx (k )-XT (k ) gt pgx (k )-XT (k ) px (k )=XT (k ) gtpg-p x (k )=XT (k ) -q x (k )李氏函数v (k ) 因为选择了正常的系统渐近稳定条件，且其中vx(k)=-xt(k)qx(k )为负常数，q=-(gtpg-p )为正常，所以为了选择正常对称矩阵p，系统渐近稳定的充分条件是q为正常对称矩阵。 相反，对于所选择的正定对称矩阵q，用矩阵方程式q=-(gtpg-p )求解p矩阵是系统渐近稳定的要求，因为p是正定对称矩阵。 已经证明。 注意，与线性稳态系统一样，如果vx(k)=-xT(k)Qx(k )沿任何解的轨迹不等于零，则q可以取正半固定矩阵。李氏方法判定系统稳定的一般步骤： 1、建立系统平衡状态： 2、选择正则矩阵q，一般选择Q=I，矩阵方程为GTPG-P)=-I，由此求解p，3、p的正确性；如p为正，系统在大范围内渐进稳定例如：将离散系统的状态方程式作为平衡点，系统渐进稳定的条件。 解：选择Q=I，使矩阵方程式GTPG-P)=-I，p