高一数学正态分布经典例题

袈借助于标准正态分布表求值肇例 设服从，求下列各式的值：肆（1） （2） （3）芃 分析：因为用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值但由于表中只列出的情形，故需要转化成小于非负值的概率，公式：和有其用武之地芁解：（1）蒇（2）螇（3）肁说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便相反其简捷的效果更突出了核心内容左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用荿求服从一般正态分布的概率袆例 设服从试求：芃（1） （2） 肂（3） （4）蒈分析：首先，应将一般正态分布转化成标准正态分布，利用结论：若，则由知：其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果莅解：（1）肃（2）膄（3）袀（4）聿说明：这里，一般正态分布，总体小于的概率值与和是一样的表述，即：螄服从正态分布的材料强度的概率羁例 已知：从某批材料中任取一件时，取得的这件材料强度服从羈（1）计算取得的这件材料的强度不低于180的概率蒈（2）如果所用的材料要求以99的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求蒄分析：这是一个实问题，只要通过数学建模，就可以知道其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”的问题；本题的第二问是一个逆向式问法，只要把握实质反向求值即可肂解：（1）莁（2）可以先求出：这批材料中任取一件时强度都不低于150的概率为多少，拿这个结果与99进行比较大小，从而得出结论袇即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为99.7399，所以这批材料符合所提要求芄说明：“不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于”转化“小于”后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表肄公共汽车门的高度葿例 若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1以下设计的，如果某地成年男子的身高（单位：），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？莇分析：实际应用问题，分析可知：求的是门的最低高度，可设其为，使其总体在不低于的概率值小于1，即：，从中解出的范围羅解：设该地公共汽车门的高度应设计高为cm，则根据题意可知：，由于，膅所以，肆也即：羀通过查表可知：罿解得：膆即该地公共汽车门至少应设计为189cm高芄 说明：逆向思维和逆向查表，体现解决问题的灵活性关键是理解题意和找出正确的数学表达式蒀学生成绩的正态分布螀例 某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布平均分为80，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？芈分析：要求80分至90分之间的人数，只要算出分数落在这个范围内的概率，然后乘以总人数即可，而计算这个概率，需要查标准正态分布表，所以应首先把这个正态总体化成标准正态总体莂解：设x表示这个班的数学成绩，则x服从膃设则z服从标准正态分布蒀查标准正态分布表，得：肅所以，蚅说明：这类问题最容易犯的错误是没有转化成标准正态分布就直接求解，一般地，我们在解决正态总体的有关问题时均要首先转化成标准正态总体 以下无正文 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 , , .For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude