高中数学学案52直线与圆锥曲线位置关系

学案52直线与圆锥曲线位置关系导学目标： 1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想自主梳理1直线与椭圆的位置关系的判定方法(1)将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若0，则直线与椭圆_；若0，则直线与椭圆_；若0时，直线与双曲线_；当0时，直线与双曲线_；当b0)的一条弦，M(x0，y0)是AB的中点，则kAB_，kABkOM_.点差法求弦的斜率的步骤是：将端点坐标代入方程：1，1.两等式对应相减：0.分解因式整理：kAB.(2)运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线1的弦，中点M(x0，y0)，则kAB_.已知抛物线y22px (p0)的弦AB的中点M(x0，y0)，则kAB_.3弦长公式直线l：ykxb与圆锥曲线C：F(x，y)0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB|x1x2|或AB |y1y2| .自我检测1抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是_2如果直线ykx1与双曲线x2y21没有公共点，则k的取值范围是_3椭圆1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是_4过点的直线l与抛物线yx2交于A、B两点，O为坐标原点，则的值为_5经过抛物线y24x焦点的直线l交抛物线于A、B两点，且AB8，则直线l的倾斜角的大小为_.探究点一直线与圆锥曲线的位置关系例1k为何值时，直线ykx2和曲线2x23y26有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？变式迁移1已知抛物线C的方程为x2y，过A(0，1)，B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是_探究点二圆锥曲线中的弦长问题例2如图所示，直线ykxb与椭圆y21交于A、B两点，记AOB的面积为S. (1)求在k0,0bb0)，双曲线1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B.(1)当l1与l2夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；(2)求的最大值【答题模板】解(1)双曲线的渐近线为yx，两渐近线夹角为60，又1，POx30，tan 30，ab.又a2b222，3b2b24，2分b21，a23，椭圆C的方程为y21，离心率e.5分(2)由已知，l：y(xc)与yx联立，解方程组得P.7分设，则，F(c,0)，设A(x0，y0)，则(x0c，y0)，x0，y0.即A.10分将A点坐标代入椭圆方程，得(c2a2)22a4(1)2a2c2，等式两边同除以a4，(e2)22e2(1)2，e(0,1)，12分232 332(1)2，当2e2，即e22时，有最大值1，即的最大值为1.14分【突破思维障碍】最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决【易错点剖析】不能把转化成向量问题，使得运算繁琐造成错误，由2不会求最值或忽视e220)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点若FA2FB，则k_.5斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A、B两点，则AB的最大值为_6(2011镇江模拟)若直线ykx1 (kR)与焦点在x轴上的椭圆1恒有公共点，则t的范围是_7P为双曲线x21右支上一点，M、N分别是圆(x4)2y24和(x4)2y21上的点，则PMPN的最大值为_8(2010全国)已知抛物线C：y22px(p0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若AM，则p_.二、解答题(共42分)9(14分)已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A、B，求AB的长10(14分)(2010天津)已知椭圆1(ab0)的离心率e，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且4，求y0的值11(14分)(2011江西)P(x0，y0)(x0a)是双曲线E：1(a0，b0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值学案52直线与圆锥曲线位置关系答案自主梳理1(1)相交相切相离(2)相交相切相离一个(3)平行一个2.(1)(2)自我检测142.(，)(，)3.45.或课堂活动区例1解题导引用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，也就是用代数的方法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数，若含参数，需按二次项系数是否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以用判别式的符号判断方程解的个数，从而说明直线与圆锥曲线的位置关系解由得2x23(kx2)26，即(23k2)x212kx60，144k224(23k2)72k248.当72k2480，即k或k时，直线和曲线有两个公共点；当72k2480，即k或k时，直线和曲线有一个公共点；当72k2480，即k0.故直线AB的方程是：yx或yx或yx或yx.变式迁移2解(1)设椭圆方程为1 (ab0)，则c，.a2，b1.所求椭圆方程为y21.(2)由消去y得关于x的方程：5x28mx4(m21)0，则64m280(m21)0，解得m25.(*)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2m，x1x2，y1y2x1x2，PQ 2，解得m2，满足(*)，m.例3解题导引直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看，就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题，结合判别式研究，利用设而不求与整体代入等技巧与方法，从而延伸出一些复杂的参数范围的研究解由 (x1)得(k21)x22kx20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，1k0，解得k.即k的取值范围为.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，由方程，x1x2.又y1y2k(x1x2)2.而A(，0)，B(0,1)，(，1)所以与共线等价于x1x2(y1y2)，将代入上式，解得k.由(1)知k，故没有符合题意的常数k.课后练习区132.yx32解析由抛物线y24x知直线l2为其准线，焦点为F(1,0)由抛物线的定义可知动点P到直线l2的距离与P到焦点F(1,0)的距离相等，所以P到直线l1的距离与P到焦点F(1,0)的距离之和的最小值为焦点F(1,0)到直线l1的距离(如图)，则d2.4.5.6.1,5)7.58.29解设直线AB的方程为yxb，由消去y得x2xb30，(4分)x1x21.于是AB的中点M(，b)，且14(b3)0，即b.(7分)又M(，b)在直线xy0上，b1符合(10分)x2x20.由弦长公式可得AB3.(14分)10解(1)由e，得3a24c2.再由c2a2b2，得a2b.由题意可知2a2b4，即ab2.解方程组得所以椭圆的方程为y21.(4分)(2)由(1)可知A(2,0)，且直线l的斜率必存在设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x2)于是A，B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由根与系数的关系，得2x1，所以x1，从而y1.设线段AB的中点为M，则M的坐标为(，)(6分)以下分两种情况讨论：当k0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是(2，y0)，(2，y0)由4，得y02.(8分)当k0时，线段AB的垂直平分线的方程为y(x)令x0，解得y0.由(2，y0)，(x1，y1y0)，2x1y0(y1y0)()4，整理得7k22，故k.所以y0.(13分)综上，y02或y0.(14分)11解(1)由点P(x0，y0)(x0a)在双曲线1上，有1.由题意有，(4分)可得a25b2，c2a2b26b2，e.(7分)(2)联立得4x210cx35b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则设(x3，y3)，即(1