高中数学数列知识点总结_经典

1 数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义： n 1n aad + -=（d 为常数）， n1 aa(n 1)d=+- 等差中项：a、b、c 成等差数列2bac=+ 前n项和 1n n1 (aa )nn(na) Snad 22 +- =+ 性质： n a是等差数列 （1）若 m+n=p+q，则 mnpq aaaa+=+ （2）数列 1221 -2 , +nnn aaa仍为等差数列， n2nn3n2n SSSSS-LL，仍为等差 数列，公差为dn2； （3）若三个数等差数列，可设为 a- d，a，a+d （4）若 nn ab，是等差数列，且前n项和分别为 nn ST，则 m2m 1 m2m 1 aS bT - - = （5） n a为等差数列 2 n Sanbn=+（ab， 为常数，是关于n的常数项为 0 的二 次函数） n S 的最值可求二次函数 2 n Sanbn=+的最值； 或者求出 n a中的正、 负分界项， 即：当 1 a0d0，解不等式组 n n 1 a0 a0 + 可得 n S 达到最大值时的n值. 当 1 a0d0，由 n n 1 a0 a0 + 可得 n S 达到最小值时的n值. (6)项数为偶数 n2 的等差数列 n a ，有 ),)()()( 111 -22212 为中间两项 + +=+=+= nnnnnnn aaaanaanaanSL ndSS= 奇偶 -， 1+ = n n a a S S 偶 奇 . （7）项数为奇数1-2n的等差数列 n a ，有 )() 1-2( 1 -2 为中间项 nnn aanS=， n aSS= 偶奇 -， 1-n n S S = 偶 奇 . PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 2 2. 等比数列的定义与性质 定义： n 1 n a q a + =（q为常数，q0 ）， n 1 n1 aa q - =。. 等比中项：a、 b、c 成等比数列 2 bacac=，或b=。 前n项和： 1 n 1 na (q1) a (1 q ) (q1) 1 q = - - ， ， （要注意！） 性质： n a是等比数列 （1）若 m+n=p+q，则 mnpq aaaa= （2） n2nn3n2n SSSSS-LL，仍为等比数列,公比为 n q . 注意注意：由 n S 求 n a 时应注意什么？ n=1 时， 11 aS=； n2时， nnn 1 aSS - =- . 3求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 如：数列 n a， 12n 2n 111 aaa2n5 222 +=+LLLL，求 n a 解：解：n=1 时， 1 1 a2 1 5 2 = + ， 1 a14= n2时，令数列只有 n- 1 项，则 12n 1 2n 1 111 aaa2(n1) 5 222 - - +=-+LLLL 得： n n 1 a2 2 =， n 1 n a2 + =， n n 1 14 a 2(n2) + = ，(n=1) ， （2）叠乘法 如：数列 n a中， n 1 1 n an a3 an 1 + = + ，求 n a 解：解： 32n 12n 1 aaa1 2n 1 aaa2 3n - - =LLL， n 1 a1 an =，又 1 a3=， n 3 a n =。 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 3 （3）等差型递推公式 已知函数yf(x)N ) + =，(x， nn 110 aaf(n)aa - -=，求 n a ，用迭加法 n2时， 21 32 nn 1 aaf(2) aaf(3) aaf(n) - -= -= -= LL 等式两边相加得 n1 aaf(2)f(3)f(n)-=+L n0 aaf(2)f(3)f(n)=+L （4）等比型递推公式 已知 nn 1 acad - =+，（cd、 为常数，c0c1d0，）求 n a 的通项公式。 解：设 nn 1nn 1 axc(ax)ca(c 1)x - +=+=+-，整理得a 令(c 1)xd-=， d x c 1 = - ， n d a c 1 + - 是首项为 1 d a c 1 + - ，c 为公比的等比数列 n 1 n1 dd a(a) c c 1c 1 - +=+ - ， n 1 n1 dd a(a) c c 1c 1 - =+- - （5）倒数法 如：已知 n 1n 1 n 2a a1 a a2 + = + ，求 n a 由已知得： n n 1nn a2111 a2a2a + + =+， n 1n 111 aa2 + -= n 1 a 为等差数列，首项 1 1 1 a ，公差 d= 1 2 ， n 111 1 (n 1)(n 1) a22 = +-=+， n 2 a n 1 = + 小结： 求 n a的通项，一般使用公式法、利用 1 n nn 1 S (n1) a SS(n2) - = = - 、累加法、累乘法. 构造等差或等比数列 1+ =+ nn apaq或 1 ( ) + =+ nn apaf n 、待定系数法、对数变换法、迭代 法、数学归纳法、换元法。 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 4 ) 4. 求数列前 n 项和的常用方法 (1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如： n a是公差为d 的等差数列，求 n k 1 kk 1 1 aa = + 解：解：由 kk kk 1kkkkkk 1 1 (ad)a 11111 d aaa(ad)a(ad)d aa + +- =- + nn k 1k 1 kk 1kk 11223nn 1 11111111111 () aad aadaaaaaa = + =-=-+-+- L 1n 1 111 daa + =- （2）错位相减法 若 n a为等差数列， n b为等比数列，求数列 nn a b（差比数列）前n项和，可由 nn SqS-，求 n S ，其中q为 n b的公比. 如： 23n 1 n S1 2x3x4xnx - = +L 234n n xSx2x3x4xnx=+L 得： n 23n 1nn n (1 x ) (1 x)S1 xxxxnxnx 1 x - - -= +-=- - L 当x1 时， nn n 2 (1 x )nx S (1 x)1x - =- - ，x1= 时， n n(n 1) S1 2 3n 2 + = + +=L （3）倒序相加法 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. n12n 1n nnn 121 Saaaa Saaaa - - =+ =+ L L 相加 n1n2n 1n 12n1 2S(aa )(aa)(aa )(aa ) - =+L PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 5 小结： a.用倒序相加法求数列的前 n 项和 如果一个数列an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写 与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。 我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是 研究同一类知识的工具， 例如： 等差数列前 n 项和公式的推导， 用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前 n 项和 对等差数列、等比数列，求前 n 项和 Sn可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式 进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于 这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前 n 项和 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从 而求出数列的前 n 项和。一般通项有以下特征可用此法：分子相等，分母为两多项式 相乘且该两多项式的差为常数。 d.用错位相减法求数列的前 n 项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 即若在数列anbn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比， 再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。 e.用迭加法求数列的前 n 项和 迭加法主要应用于数列an满足 an+1=an+f(n)，其中 f(n)是等差数列或等比数列的条 件下，可把这个式子变成 an+1- an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加 到一起，经过整理，可求出 an ，从而求出 Sn。 f.用分组求和法求数列的前 n 项和 所谓分组求和法就是对一