高中文科数学知识点总结

高中数学 必修1知识点第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.（3）集合与元素间的关系元素与集合的关系是，或者，两者必居其一.（4 不含有任何元素的集合叫做空集().子集是任何非空子集的真子集。【1.1.2】集合间的基本关系名称记号意义示意图子集（或A中的任一元素都属于B或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不属于A集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集且（1）（2）（3） 并集或（1）（2）（3） 补集 （7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集注：（7）及（6）和 （8）中的性质列简单看看【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念函数的三要素:定义域、值域和对应法则（关系式）只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：使分母不为零的一切实数是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值对数函数底数须大于零中，复合函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集（4）求函数的值域或最值 观察法：对于比较简单的函数，如指数对数及反比例函数等。二次函数抛物线关注顶点坐标。不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法（利用导数）1.3函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义图象函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数（简单了解）【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做奇函数（1）利用定义（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数（1）利用定义（2）利用图象（图象关于y轴对称）若函数为奇函数，且在处有定义，则奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）（简单了解就可）第二章 基本初等函数()2.1指数函数（1）根式的概念根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， （2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：且正数的负分数指数幂的意义是：且（3）分数指数幂的运算性质 【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义0101函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况关键熟练指数函数的图象，直接看图说话，不用去记其性质，包括定义域，值域，或是奇偶性与增减性。2.2对数函数（1） 对数的定义（求指数具体值的过程。） 若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数负数和零没有对数N大于0（2）几个重要的对数恒等式，（3）常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中）（4）对数的运算性质 如果，那么加法： 减法：（公式可记为：内乘除，外加减）指数前拉： 换底公式：【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象0101定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况关键熟练指数函数的图象，直接看图说话，不用去记其性质，包括定义域，值域，或是奇偶性与增减性。2.3幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数（2）幂函数的图象注：幂函数重点关注二次函数反比例函数的图象及性质（要数形结合，看图思路更清晰），和三次函数的简单图象与性质。补充知识二次函数（3）二次函数图象的性质二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是当时，抛物线开口向上，当时，；当时，抛物线开口向下，当时，二次函数当时，图象与轴有两个交点1、函数的零点函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。(即X的值。）2、函数零点存在性的判定方法如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个也就是方程的根。说明：（1）函数在区间上有定义；（2）函数的图象是连续不断的一条曲线； （3）函数在区间两端点的函数值必须满足； （4）函数在区间内有零点，但不唯一； 4、函数零点的求法：可以解方程而得到（代数法）；：可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点（几何法）5、二次函数零点的判定二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表。判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点6、用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中。第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 计算和，并判断：如果，则就是的零点，计算终止；如果，则零点位于区间中，令；如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 。计算和，并判断：如果，则就是的零点，计算终止；如果，则零点位于区间中，令；如果，则零点位于区间中，令继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度索取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1、方程lgxx0的根所在的区间是（ ）A. （，0） B. （0，1） C. （1，2） D, （2，4）2、已知偶函数f（x）的图象与x轴共有四个交点，则函数f（x）的所有零点之和等于（ ）A. 4 B. 2 C. 1 D. 03、若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f（1）2f（1.5）0.625f（1.25）0.984f（1.375）0.260f（1.4375）0.162f（1.40625）0.054那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A. 1.4 B. 1.3 C. 1.2 D. 1.5二、填空题4、若函数的两个零点是2和，则实数、的值为_。5、若方程ax2x10在（0，1）内有解，则实数a的取值范围是_。6、若函数（x）x2axb的两个零点是2和3，则函数g（x）bx2ax1的零点是_。高中数学 必修2知识点第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征棱柱：侧面均是平行四边形（或长方形），底面为N边形（N由侧面个数决定）。棱锥：侧面均是三角形，底面为N边形（N由三角形个数决定）。 三棱锥侧面有三个三角形，四棱锥侧面有四个三角形，以此类推。 所有侧面三角形都相交于一点。棱台：由棱锥截面而形成的。上下两个底面平行，侧面均为梯形。球体：经常与正方休（或长方体）一起考核 内切球：球在正方体的内部，直径D=2R=a（正方体边长） 外接球：正方体在球的内部，直径D=2R= a（正方体边长） 长方体在球的内部，直径D=2R=圆柱：是由一个长方形以侧边（圆柱的母线L）为轴，绕着底边（底面圆的半径R）旋转一周而形成的几何体。 其展开图是一个长方形，长宽分别为底面圆的周长C，和母线长L。（如不确定长宽分别对应C或是L，要考虑两种情况）图1三视图： 正视图 侧视图 俯视图图 1 AA11 圆锥：是由一个直角三角形以竖直边（圆锥的高），绕着底边（圆锥底面圆的半径）旋转一周而形成的几何体。其侧面展开图是一个扇形扇形面积S=母线长L扇形弧长（圆锥底面圆周长）/2 三视图： 正视图 侧视图 俯视图 PS：多面体至少有四个面直棱柱为侧棱垂直于底面的棱柱。 正三棱锥为棱长均相等的三棱锥。1.2空间几何体的三视图和直观图1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下1.3 空间几何体的表面积与体积（一 ）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积4 圆台的表面积 5 球的表面积（二）空间几何体的体积1柱体的体积 2锥体的体积 3台体的体积 4球体的体积 DCA第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此面内符号表示为LAALBL = L ABCBA（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（如果在三点则同一直线，则有无数个平面。考试经常会去掉划线部分）（3） 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。（4）2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：共面直线 相交直线平行直线异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 两条异面直线所成的角(0，90 )； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内（2）直线与平面相交 （3）直线在平面平行 （平面外）指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示a a=A a2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aab2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab = P ab2、判断面面平行的方法：（1）判定定理；（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。2、定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面互相垂直，记作L，直线L叫做平面的垂线，平面叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 L p 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l-或-AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空间直线、平面的位置关系平面与平面的位置关系直线与平面的位置关系第三章 直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定= 0.2、 倾斜角的取值范围： 0180. 当直线l与x轴垂直时, = 90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tan当直线l与x轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线l与x轴垂直时, = 90, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.4、 直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直。3.2.1 直线的点斜式方程1、 直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为 2、直线的斜截式方程：已知直线的斜率为，且与轴的交点为 3.2.2 直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点其中 （ y-y1）/（y-y2）=（x-x1）/(x-x2)2、直线的截距式方程：已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中 /a+y/b=1注：关于两点法，点斜法，截距法，不作要求，只要求会求直线方程就可，关键解题思路是根据已知条件，A先求出斜率K（ k=（y2-y1）/（x2-x1） ，或是根据平行垂直及导数等间接求出），B然后再代入一点的坐标确定b。3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 得 x=-2，y=2所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）3.3.2 两点间距离两点间的距离公式:3.3.3 点到直线的距离公式1点到直线距离公式：点到直线的距离为：2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程2、点与圆的关系的判断方法：（1），点在圆外 （2）=，点在圆上（3）000f(x)单调递增极值点单调递减极值点单调递增加注：根据上述单调性简单描绘一下原函数f(x)增减性的图象，根据图象要以得出极大极小值。8、求函数在上的最大值与最小值的步骤是：求函数在内的极值；（同上一小点列表的方法。）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值PS：如何求曲线某一点的切线方程，已知曲线函数与某个点的坐标A（X。，Y。），（1） 先对原函数求导，该点的导数就是该点切点方程的斜率K（2） 该点经过切线方程（3） 根据（1）（2）一点一斜率，求直线方程。第四部分 复数1概念：(1) z=a+biRb=0 (a,bR)z= z20；(2) z=a+bi是虚数b0(a,bR)；(3) z=a+bi是纯虚数a=0且b0(a,bR)z0（z0）z20；(4) a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,dR)；2复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,dR)，则：(1) z 1z2 = (a + b) (c