第十一章曲线积分与曲面积分电子教案第七节_第1页
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文档简介

一、斯托克斯公式,*二、空间曲线积分与路径无关的条件,*三、环流量与旋度,一、斯托克斯公式(Stokes),斯托克斯(Stokes)公式是格林公式的推广.,格林公,式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的,曲线积分间的关系，,而斯托克斯公式则把曲面上的,曲面积分与沿着的边界曲线的曲线积分联系起来.,定理1设是分段光滑的空间有向闭曲线，是以,为边界的分片光滑的有向曲面，,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在,曲面(连同边界)上具有一阶连续偏导数，则有,的正向与的侧符,合右手规则，,斯托克斯公式,为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,在斯托克斯公式中，如果z=常数，,即是平行于,xOy面的平面，,则斯托克斯公式就变成,这就是格林公式,所以，格林公式是斯托克斯公式的,特殊情形,例1利用斯托克斯公式计算曲线积分,其中是平面x+y+z=1被三个坐标面所截成的三角,形的整个边界，如图所示,例2利用斯托克斯公式公式计算曲线积分,其中是用平面x+y+z=1.5截立方体0,10,10,1,的表面所得的截痕，若从z轴正向看去取逆时针方向.,*二、空间曲线积分与路径无关的条件,定理2设空间区域G是一维单连通域，,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在G内具有一阶连续偏导数，,则空间,曲线积分,在G内与路径无关的充分必要,条件是在G内恒有,定理3设空间区域G是一维单连通域，,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在G内具有一阶连续偏导数，,则表达,式,在G内是某一函数u(x,y,z)的全微分的,充分必要条件是在G内恒有,并且,*三、环流量与旋度,斯托克斯公式,设曲面的法向量为,曲线的单位切向量为,则斯托克斯公式可写为,令,引进一个向量,或,于是得斯托克斯公式的向量形式:,向量rotA称为向量场A的,称为向量场A,定义,沿有向闭曲线的环流量.,旋度.,如果向量场A的旋度rotA处处为零，则称向量场A,为无旋场.,而一个无源、无旋的向量场称为调和场.,调和场是物理学中另一类重要的向量场，这种场,与调和函数有密切的关系.,设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任,
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