高中高考数学：关于函数的对称性和周期性

-1- 关于函数的对称性 一单个函数的对称性 1. 函数)(axfy+=是偶函数)()(xafxaf=+ 函数)(xfy=的图象关于ax =对称)2()(xafxf= 2)()(xbfxaf=+函数)(xfy=的图象关于 2 ba x + =呈轴对称. 3. 函数)(axfy+=是奇函数)()(xafxaf=+ 函数)(xfy =的图象关于点)0 ,(a对称)2()(xafxf= 40)()(=+xbfxaf函数)(xfy =的图象关于点)0 , 2 ( ba + 呈中心对称. 5. 函数baxfy+=)(是奇函数)()(bxafbxaf+=bxafxaf2)()(=+ 函数)(xfy =的图象关于点),(ba对称)2(2)(xafbxf= 6. cxbfxaf=+)()(函数)(xfy =的图象关于点) 2 , 2 ( cba + 呈中心对称. 二两个函数的对称性 1. 函数)(xfy =关于ax =的对称函数为)2(xafy=； 2. 函数)(xfy =关于by =的对称函数为)(2xfby=； 3. 函数)(xfy =关于点),(ba的对称函数为)2(2xafby=； 4. 函数)(xafy+=与函数为)(xbfy=关于 2 ab x =（即xbxa=+）对称； 5. 函数)(xafy+=与函数为)(xbfcy=关于点) 2 , 2 ( cab 对称. 证明：设)()(xafxg+=， 则由结论3.可知其关于点) 2 , 2 ( cab 的对称函数为)() 2 (2( 2 2xabgcx ab g c y= = 而)()()(xbfcxabafcxabgcy=+=，得证. 反函数结论（略）. -2- 关于函数的周期性 一周期函数的定义：函数)(xf在其定义域内，对任意的x都存在一个常数)0( TT， 使得)()(xfTxf=+成立，则称函数)(xf是周期函数， T叫做函数)(xf的一个周期.（注：以后T专指最小正周期） 设T是函数)(xf的一个周期，则)0,( kZkkT也是函数)(xf的周期. 问1：有没有一个函数是周期函数，但是没有最小正周期？ 答：有，常数函数就是！ 问2：一个周期函数的最小正周期与其他周期什么关系？ 答：如果一个函数存在最小正周期，那么其他的周期必是最小正周期的非零整数倍！ 问3：在ba的时候，)()(xbfxaf=+和)()(xbfxaf+=+分别表示什么？ 答：)()(xbfxaf=+表示)(xf的对称轴为 2 ba x + =； 而)()(xbfxaf+=+表示)(xf的周期为. |baT= 二常见结论（注：此处T专指最小正周期，且默认0a） （1）若)(xf对定义域内的任意x都有)()(xfaxf=+，则|2aT=. 推广：若)(xf对定义域内的任意x都有)()(xfmaxf=+，则|2aT=. 证明：用ax+代替)()(xfmaxf=+中的x，得到)()2(axfmaxf+=+； 于是)()2(axfmaxf+=+)()(xfxfmm=，得证. （2）若)(xf对定义域内的任意x都有 )( 1 )( xf axf=+，则|2 aT=. （3）若)(xf对定义域内的任意x都有 )( 1 )( xf axf=+，则|2 aT=. 推广：若)(xf对定义域内的任意x都有 )( )( xf m axf=+ )0(m，则|2 aT=. 证明：用ax+代替 )( )( xf m axf=+中的x，得到 )( )2( axf m axf + =+； 于是)( )( )( )2(xf xf m m axf m axf= + =+，得证. -3- （4）若)(xf对定义域内的任意x都有 )(1 )(1 )( xf xf axf + =+，则|2 aT=. 证明：用ax+代替 )(1 )(1 )( xf xf axf + =+中的x，得到 )(1 )(1 )2( axf axf axf + + =+； 于是)( 2 )(2 )(1 )(1 1 )(1 )(1 1 )(1 )(1 )2(xf xf xf xf xf xf axf axf axf= + + + = + + =+，得证. （5）若)(xf对定义域内的任意x都有 )(1 )(1 )( xf xf axf + =+，则|4 aT =. 证明：用ax +代替 )(1 )(1 )( xf xf axf + =+中的x，得到 )(1 )(1 )2( axf axf axf + + =+； 于是 )( 1 )(2 2 )(1 )(1 1 )(1 )(1 1 )(1 )(1 )2( xfxf xf xf xf xf axf axf axf= = + + + = + + =+， 再用ax2+代替 )( 1 )2( xf axf=+中的x， 得到)( )( 1 1 )2( 1 )4(xf xf axf axf= = + =+；得证. 变化1： )()(1 )()( )( 21 21 21 xfxf xfxf xxf + =+，且存在一个定值a使得1)(=af， 且对于任意的axx2|0 21 必有1)()( 21 xfxf，则)(xf的周期|4 aT =； 证明：取 )()(1 )()( )( 21 21 21 xfxf xfxf xxf + =+中的axxx= 21 ,，然后代入1)(=af，得到： )(1 1)( )( xf xf axf + =+，已证毕. 故|4 aT =. 变化2：() )()( 1)()( 12 21 21 xfxf xfxf xxf + =，且存在一个定值a使得1)(=af，则)(xf的周期|4 aT = 证明：同上，略 （6）若)(xf的图象关于,ax=且同时关于)(babx=对称，则|2baT=. 证明：)22()2(2()2()(abxfxabfxafxf+=，得证. -4- （7）若)(xf的图象关于),0 ,(a且同时关于)(babx=对称，则|4baT=. 推广：若)(xf的图象关于),(ma且同时关于)(babx=对称，则|4baT=. 证明：)22(2)2(2(2)2(2)(abxfmxabfmxafmxf+=， 用abx22 +代替上式中的x，得到)44(2)22(abxfmabxf+=+ 于是)44()44(22)22(2)(abxfabxfmmabxfmxf+=+=+=，得证. （8）若)(xf的图象关于),0 ,(a且同时关于)(0 ,(bab对称，则|2baT=. 推广：若)(xf的图象关于),(ma且同时关于)(,(bamb对称，则|2baT=. 证明：)22()2(2(22)2(2)(abxfxabfmmxafmxf+=，得证. （9）)()()(axfxfaxf=+，或写成：)()()(xfaxfaxf=+， 或写成)()()2(xfaxfaxf+=+，或写成：)()()2(axfxfaxf+=+，则|6aT=. 证明：用ax+代替)()()(axfxfaxf=+中的x，得到)()()2(xfaxfaxf+=+, 于是：)()()()()()()2(axfxfaxfxfxfaxfaxf=+=+， 用ax+代替)()2(axfaxf=+中的x，得到)()3(xfaxf=+， 用ax3+代替)()3(xfaxf=+中的x，得到)()()3()6(xfxfaxfaxf=+=+，得证. （10） )( )( )( axf xf axf =+，或写成：)()()(xfaxfaxf=+， 或写成 )( )( )2( xf axf axf + =+，或写成： )2( )( )( axf axf xf + + =，则|6aT=. 证明：用ax+代替 )( )( )( axf xf axf =+中的x，得到 )( )( )2( xf axf axf + =+, 两式相乘：得到 )( 1 )2( axf axf =+， 用ax+代替 )( 1 )2( axf axf =+中的x，得到 )( 1 )3( xf axf=+， 用ax3+代替 )( 1 )3( xf axf=+中的x，得到)( )( 1 1 )3( 1 )6(xf xf axf axf= + =+，得证. -5- 三不常见结论（注：此处T专指最小正周期，且默认0a） (1)()( 2 1 )( 2 xfxfaxf+=+ , 则)(xf的周期|2aT= 证明：先将原式移项平方，得到：)()( 4 1 )()( 22 xfxfaxfaxf=+ 再移项： 4 1 )()()()( 22 =+xfxfaxfaxf， 再用ax+代替上式中的x，得 4 1 )()()2()2( 22 =+axfaxfaxfaxf， 两式对比，易得：)()()2()2( 22 xfxfaxfaxf=+，两边都加 4 1 ， 得到： 22 2 1 )( 2 1 )2( = +xfaxf， 由原式)()( 2 1 )( 2 xfxfaxf+=+ 可知，必有 2 1 )(xf， 故 2 1 )( 2 1 )2(=+xfaxf，即)()2(xfaxf=+，得证. (2) )( 1 1)( axf xf + =，或写成 )(1 1 )( xf axf =+) 1 , 0)(xf，则)(xf的周期|3 aT = 证明：用ax +代替 )( 1 1)( axf xf + =中的x，得到 )2( 1 1)( axf axf + =+，代入原式 得到 1)2( 1 1)2( )2( 1 )2( 1 1 1 1 )( 1 1)( + = + + = + = + = axfaxf axf axf axf xf， 再用ax +代替 1)2( 1 )( + = axf xf中的x，得到 1)3( 1 )( + =+ axf axf，代入原式 得到)3(1)3(1 1)3( 1 1 1 )( 1 1)(axfaxf axf axf xf+=+= + = + =，得证. 另证：用ax +代替 )(1 1 )( xf axf =+中的x，得到 )( 1 1 )( )(1 )(1 1 1 1 )(1 1 )2( xfxf xf xf axf axf= = = + =+，再用ax +代替x，得到 )( )( 1 11 1 )2(1 1 )3(xf xf axf axf= = + =+，得证. -6- (3)4()3()2()()()4()3()2()()(