高二数学上学期椭圆的简单几何性质

椭圆的简单几何特性典型范例1例1椭圆的顶点之一是求长轴长度是短轴长度的两倍的椭圆的标准方程。分析：标题没有指向焦点的位置，需要考虑两个位置。解决方案：(1)对于长轴端点，椭圆的标准方程式如下：(2)如果是缩短端点，则为、椭圆的标准方程式如下：说明：椭圆的标准方程式有两个标准方程式，指定顶点的座标和对称轴的位置，因此无法决定椭圆的横竖，所以需要考虑两个情况。典型示例2例2椭圆的焦点是引导线之间的距离除以3，得出椭圆的离心率。解决方案：说明：寻找椭圆的离心力问题一般有两种处理方法。一个是求，另一个是求。二是重新求解包含和的同阶方程，包含的方程。解方程就行了。典型示例3范例3中心位于原点，且专注于轴的椭圆与直线相交，两点是中点，倾斜为0.25，椭圆的短长度为2，并寻找椭圆圆的方程式。解决方案：在问题中，输入椭圆方程，好，我知道了，和，为了请求。说明：(1)此问题使用待定系数法查找椭圆方程。(2)作为直线和曲线的综合问题，经常需要借用根和系数的关系，解决弦长、弦长、中点、弦长问题。典型实例4例4椭圆的其他三点，与焦点的距离是等差数列。(1)寻求证据。(2)如果线段的垂直平分线与轴的交点，则寻找直线的斜率。证明：(1)由椭圆方程式知道，圆锥曲线的统一定义已知：同样。和，、就是。(2)由于直线段的中点是直线段的中点，因此垂直平分线表达式为.点在轴上，把坐标代入常识，点，在椭圆上。用这个表格代替，用结论典型实例5示例5询问椭圆是否已知，对于两个焦点，在椭圆上定位点，与左导的距离是否等于的比率。寻找点的座标(如果存在)。如果不存在，请说明原因。解决方案：通过存在假设、设置和已知条件，左准直线的方程式是，焦点半径公式已知：而且，.、整理。或者。另一方面。与矛盾，没有满足条件的地方。说明：(1)使用焦点半径公式解决往往可以简化解决问题的过程。(2)这个例子是存在性问题，解决存在性问题，一般存在假设，根据已知条件进行推理和运算。然后根据推理得到的结果来判断。(3)这个例子也存在，可以引入矛盾的结论(读者自我完成)。典型示例6例6知道一个椭圆，它是一个通过点并被平分的弦的直线方程。分析1:找到一些直线的关键是求斜率，所以把斜率设置为，利用条件求。解法1:如果将所需直线的斜度设定为，则直线方程式会。代替椭圆方程定理.由吠陀定理。弦的中点。所以线方程式是。通过将分析2:的表达式两端的坐标设置为，来查找坡率。解决方案2:如果设置的线与椭圆相交，则由问题-嗯，、用代替。换句话说，直线的斜率是。所需的直线方程式是。说明：(1)与弦的中点相关的问题主要有三种类型。即通过点并被点平分的弦；平行弦的中点轨迹；定点码中点轨迹。(2)解决方法是“循序渐进的方法”。(。解决县中的重点问题更方便，重点是聪明地代替坡率。(3)县和县重点问题的一般方法是“韦达定理适用”和“点差法”。也适用于二次曲线问题。典型示例7例7寻找适合条件的椭圆的标准方程。(1)长轴长度是短轴长度的2倍，寡头垄断；(2)轴的焦点之一与短轴两端的直线互垂，焦距为6。分析：方程有两种形式时，应分别(1)解，如在语句项中求，得到方程后，不应根据此写不同的方程。解决方案：(1)椭圆的标准方程式为或。被告知。又过了一会儿或者。，知道了，或。所以你想要的方程式是或者。(2)将方程式设定为。已知的，所以想要的方程是。说明：根据条件查找椭圆标准方程式的想法是“选择标准，设置参数”。焦点是焦点位置是否确定，如果不确定，则是方程式或。典型示例问题8例8椭圆的右焦点是穿过点，如果点在椭圆上，并且是最小值，则求点的坐标。分析：这个问题的核心是求离心率，转换到右准线的距离，得到最小值。一般来说，这种方法都可以使用。解决方案：已知：所以，右导。太，垂直，交叉椭圆，所以。显然，最小值是想要的点，所以，在椭圆上。所以。说明：这个问题的核心是未知“2”的处理。事实上，图，即到右准线距离的一半，也就是图的问题，转换为寻找椭圆上的一点，取到的距离和到右准线距离的总和和最小值。典型实例9例9求椭圆到直线距离的最小值。分析：先写椭圆的参数方程，然后通过点到直线的距离创建三角函数关系，得出距离的最小值。解法：如果椭圆的参数方程式是椭圆上点的座标，则点到线的距离为.那时。说明：如果直接设置点的坐标不能解决问题，可以生成曲线的参数表达式。典型实例10例10表示椭圆的中心是坐标的原点，长轴位于轴上，具有离心率，从已知点到此椭圆上的点的最远距离求出此椭圆的方程，求出椭圆上点的距离相同的点的坐标。分析：这个问题需要研究椭圆的特性、距离公式、最大值和问题分析能力，以在求最大值时注意讨论的值的范围。这个问题可以使用椭圆的标准方程或椭圆的参数方程，并且可以很好地应用不等式、平面几何、三角形等知识解决一些综合问题，从而加强等效变换、形数耦合的思想，提高逻辑推理能力。解法1:椭圆的直角座标方程式未定。可以得到也就是说。设定椭圆上的点到点的距离，如下所示：其中。如果是这样，那么当时(因此)有最大值。在问题中设定，由此，和矛盾。所以必须成立，所以那时(结果)有最大值。可以在标题中设置。椭圆方程式是.和得出的椭圆方程是椭圆上的点、点到点的距离。解法2:根据问题设定条件，所需椭圆的参数方程式为。其中，待定，是参数。可以得到也就是说。如果将椭圆上的点到点的距离设置为如果是这样，那么当时(因此)有最大值。问题由此而定，并由矛盾设定，因此会成立。所以当时有最大值。我知道是提问。椭圆的参数方程式是.在中，椭圆可用的是。典型实例11示例11查找设置、最大和最小值。分析：这个问题的核心是利用形数的组合来观察方程与椭圆方程的结构一致。设定，显然它表示圆，这样就可以考虑椭圆和圆的位置关系，绘制出最值的图表。解决方案：由可见表示椭圆位于中心，轴具有焦点，并通过点(0，0)和点(3，0)。设置，下一步表示圆心为(-1，0)半径的圆。在同一坐标系中生成椭圆和圆，如图所示。如果查看图形，您会发现当圆经过(0，0)点时，半径最小。圆经过(3，0)点时，半径最大。的最小值为0，最大值为15。典型实例12例12知道椭圆，是长轴的两个端点。(1)集中证明与长轴垂直的弦：无论如何变化。(2)如果椭圆上有点，则寻找离心率的值范围。分析：这个问题从已知的条件出发，两个问题必须从和的正切值估计，所以必须从点的坐标，斜率出发。在这个问题的(2)问题中，核心是列出离心率满足的不等式。椭圆的固有特性而已。用，减去，等列出不等式。在这里，想法明确，计算正确，一口气完成。解决方案：(1)设置，所以。是有的拐角。所以.(2)设置，设置。由于对称性，可以设置。所以那是角度。和整理和和而且，、或(房子)，典型实例13例13椭圆的离心率，值。分析：以两种情况进行讨论。解决方案：椭圆的焦点位于轴上时，在、上、上。上，上。如果椭圆的焦点位于轴上，则为、是，是。满足条件或。说明：这个问题很容易解决。要解决错误，椭圆的焦点可能位于轴上，也可能位于轴上，因为与9的大小关系不明确。因此，必须讨论。典型实例14例14据悉，椭圆上一点到右焦点的距离是寻找到左导的距离。分析：使用椭圆的两个定义或使用第二个定义和椭圆两条直线的距离进行解决。在解决方案1:中，由椭圆定义。.定义椭圆的第二个，它是到左侧导引的距离。、到左边导游的距离是。解法2:为了到右侧视线的距离，椭圆2直线的距离为。到左边导游的距离是。说明：使用椭圆的第二个定义时，要注意焦点和准绳的共面。否则会产生误会。椭圆有两个定义，以不同角度反映椭圆的特征。解决问题时要灵活选择和自由使用。通常，如果移动点上的两点出现问题，请使用椭圆的第一个定义。如果遇到从移动点到固定线的距离问题，则使用椭圆的第二个定义。典型实例15示例15设置了一个椭圆(参数)，它使用上一点和正轴角度得出点坐标。分析：使用参数和之间的关系进行解决。解决方案：设置，正轴角度，即。从此，点坐标是。典型实例16例16是具有离心力的椭圆上的一点，左焦点和右焦点之间的距离分别为，证词：分析：这个问题研究了椭圆的两个定义，将椭圆到焦点的距离转换为相应的准直线距离。解法：椭圆的左导引之间的距离，椭圆的第二个定义，由椭圆的第一个定义。说明：此问题确定了在解决与椭圆焦点半径(或焦点代码)相关的问题时广泛使用的椭圆焦点半径公式。建立专注于轴的椭圆的焦点半径公式。典型实例17示例17知道椭圆上有一个点，分别是椭圆的左焦点和右焦点，点是椭圆上的一个点。(1)求出的最大值、最小值及其点坐标；(2)所需的最小值和该点的坐标。分析：这个问题有两种方法，研究椭圆中最大值的问题，通常找出变量的最大值。一个是目标函数，即代数方法。第二种是数字组合，即几何方法。这个问题不能轻易解决，如果先创建目标函数，然后求出最高值。抓住椭圆的定义，转换目标，使用数字组合，就可以简单地解决。解决方案：(1)如上图所示，将椭圆设定为不育点，等号仅在当时成立，此时，共线。，等号当时才成立，共线。求解方程两个交点，生成直线方程，总之，点匹配时取最小值，点匹配时取最大值。(2)下图显示椭圆是垂直椭圆右侧水平线，是垂直椭圆右侧水平线，是垂直酋长。被称为椭圆的第二个定义。要使用，必须至少与共线。也就是说，右准直线方程式是。从到右侧线的距离是。点坐标与点坐标相同，取代了椭圆满足条件的点坐标。描述：所需的最小值是转换为第二个定义，然后使用该准则建立垂直线段。正确使用焦距和点准直之间的相互作用是解决问题的重要手段。典型范例18范例18 (1)写入椭圆的参数方程式。(2)找到椭圆内部矩形的最大区域。分析：这个问题调查椭圆的参数方程及其应用。为了简化运算并减少未知数，椭圆的参数方程通常表示曲线上的一些坐标，问题分为三角形问题。解决方案：(1)。(2)将椭圆的内切矩形区域设定为(称为对称)，将矩形的相邻面设定为第一个象限中平行于轴的矩形顶点。邮报因此，椭圆内部矩形的最大面积为12。说明：通过椭圆参数方程转换为三角函数的最大值问题，通常与圆锥曲线相关的最大值问题，以参数方程的形式更加简单。典型实例19例19被称为椭圆的两个焦点，椭圆的一点。(1)求椭圆离心率的值范围。(2)证明面积与椭圆的短长度相关。分析：您可以设定椭圆方程式，而不遗失一般性，如下所示()、()。想法1:根据问题设置，可以很容易地简化两条直线之间的角度公式，即设置、此外，根据两个方程耦合消除，可以确定离心率值的范围；我理解可以拯救的领域，但过程很复杂。在想法2:中，使用余弦定理，查找，重复使用，确定离心率范围，用椭圆方程代替，可以找到的区域。想法3:用正弦定理、余弦定理一起解决。解决方案： (方法1)椭圆方程为()，即可从workspace页面中移除物件。中的余弦定理而且，可以解决。(1)，即。因此，椭圆离心率的范围为：(2)替代也就是说。也就是说，面积仅与椭圆的短长度相关。(法2)设定、是的。由(1)中的正弦定理.、.当时等号还成立。因此，椭圆离心率的范围为。由(2)中的余弦定理：、即。其面积与椭圆的短长度有关。说明：椭圆的一点和两个焦点组成的三角形是与焦点三角形问题相关的椭圆的焦点三角形，通常使用三角形的拐角关系定理。