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高等数学标准化作业纸 2014 版 应用数学系编 2015 年 8 月印刷 第 页 院系 班级 姓名 学号 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 一、选择题 1、 函数 22 4 ),( yx xy yxf + =，则), 1 ( y x f值为（ D ） A ； B )； C )； D . )0 , 1 (f1 ,(xf, 1 (yf),(xyf 2、 2 0 0 lim 3 x y 2 xy xy + 的值为（ B ） A 0； B 不存在； C 1 3 ； D 1 4 . 二、填空题 1、 22 0 1 1 lim x y xy xy = + 1 ；2、 22 0 1 lim x x y ye xy + = + 2 ； 3、 22 lim x y xy xy + + + = + 0 ；4、 0 0 lim 1 1 x y xy xy = + 2 . 三、计算题 1、 求函数 2 arcsinln(1) x zy y =+ 的定义域. 22 2 11 10 10,0 x yxy y y yy 2、用定义证明 220 0 lim0 x y xy xy = + . 证明：对于任意0，要使得 22 22 222222 1 () 1 2 |0| | 2 xy xyxy xy xyxyxy + =+ + = eBACeA, 则) 1, 2 1 (为极小值点,极小值为. 2 e 高等数学标准化作业纸 2014 版 应用数学系编 2015 年 8 月印刷 第 页 院系 班级 姓名 学号 4、求椭球面 222 222 1,( , ,0) xyz a b c abc +=上点),(zyx,)0, 0处的切 平面与三坐标面所围成的四面体体积的最小值. , 0(zyx 解: ,| ) 2 , 2 , 2 ( ),( 222 zyx c z b y a x n = ? 则过处的切平面方程为:),(zyx, 0)( 2 )( 2 )( 2 222 =+z c z y b y x a x 则切平面与三坐标面所围成的四面体体积为: xyz cba z c y b x a V 1 66 1 222222 =. =+1 , max 2 2 2 2 2 2 c z b y a x xyz 令),1(),( 2 2 2 2 2 2 += c z b y a x xyzzyxF 对求导等于零,解出),(zyxF = = = 3 3 3 c z b y a x ,则 . 2 3 min abcV= 5、求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体. 解： =+ 2222 ) 2 () 2 () 2 ( , max a zyx xy
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