高数知识点总结(上册)

高数知识点总结（上册）函数：绝对值得性质：(1)|a+b|a|+|b|(2)|a-b|a|-|b|(3)|ab|=|a|b|(4)|=函数的表示方法：（1）表格法（2）图示法（3）公式法（解析法）函数的几种性质：（1）函数的有界性 （2）函数的单调性（3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性反函数：定理：如果函数在区间a,b上是单调的，则它的反函数存在，且是单值、单调的。基本初等函数：（1）幂函数（2）指数函数（3）对数函数（4）三角函数（5）反三角函数复合函数的应用极限与连续性：数列的极限：定义：设是一个数列，a是一个定数。如果对于任意给定的正数（不管它多么小），总存在正整数N，使得对于nN的一切，不等式都成立，则称数a是数列的极限，或称数列收敛于a，记做，或（）收敛数列的有界性：定理：如果数列收敛，则数列一定有界推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛函数的极限：定义及几何定义函数极限的性质：（1）同号性定理：如果，而且A0(或AN时，与都存在且（3）存在（或为），则极限存在（或为），且=未定式1、情形如果 （1）时，与都趋于无穷大 （2）在点a的某领域（点a可除外）内，与都存在且 （3）存在（或为） ，则则极限存在（或为），且=2、情形推论：如果 （1）时，与都趋于无穷大 （2）当|x|N时，与都存在且 （3）存在（或为） ，则则极限存在（或为），且=注意：1、洛必达法则仅适用于型及型未定式 2、当不存在时，不能断定不存在，此时不能应用洛必达法则泰勒公式（略）迈克劳林公式（略）函数单调性的判别法：必要条件：设函数在上连续，在内具有导数，如果在上单调增加（减少），则在内，（）充分条件：设函数在上连续，在内具有导数，（1）如果在内，则在上单调增加（2）如果在内，则在上单调减少函数的极值及其求法极值定义（见书176页）极值存在的充分必要条件必要条件：设函数在点处具有导数，且在点处取得极值，则函数的极值点一定是驻点导数不存在也可能成为极值点驻点：使的点，称为函数的驻点充分条件（第一）：设连续函数在点的一个邻域（点可除外）内具有导数，当x由小增大经过时，如果（1）由正变负，则是极大点（2）由负变正，则是极小点（3）不变号，则不是极值点充分条件（第二）：设函数在点处具有二阶导数，且，（1）如果，则在点处取得极大值（2）如果，则在点处取得极小值函数的最大值和最小值（略）曲线的凹凸性与拐点：定义：设在上连续，如果对于上的任意两点、恒有，则称在上的图形是（向上）凹的，反之，图形是（向上）凸的。判别法：定理：设函数在上连续，在内具有二阶导数（1）如果在内，那么的图形在上是凹的（2）如果在内，那么的图形在上是凸的拐点：凸弧与凹弧的分界点称为该曲线的拐点。不定积分原函数：如果在某一区间上，函数与满足关系式：或，则称在这个区间上，函数是函数的一个原函数结论：如果函数在某区间上连续，则在这个区间上必有原函数定理：如果函数是的原函数，则（C为任意常数）也是的原函数，且的任一个原函数与相差为一个常数不定积分的定义：定义：函数的全体原函数称为的不定积分，记做不定积分的性质：性质一：或及或性质二：有限个函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和。即性质三：被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即（k为常数，且k0基本积分表： （1）（k是常数）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）第一类换元法（凑微分法）第二类换元法：变量代换被积函数若函数有无理式，一般情况下导用第二类换元法。将无理式化为有理式基本积分表添加公式：结论：如果被积函数含有，则进行变量代换化去根式如果被积函数含有，则进行变量代换化去根式如果被积函数含有，则进行变量代换化去根式分部积分法：对应于两个函数乘积的微分法，可推另一种基本微分法-分部积分法分部积分公式1、如果被积函数是幂函数与的积，可以利用分部积分法令u等于幂函数2、如果被积函数是幂函数与的积，可使用分部积分法令u=3、如果被积函数是指数函数与三角函数的积，也可用分部积分法。定积分定积分的定义定理：如果函数在上连续，则在上可积定理：如果函数在上只有有限个第一类间断点，则在上可积定积分的几何意义：1、在上，这时的值在几何上表示由曲线、x轴及二直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积2、在上，其表示曲边梯形面积的负值3、在上，既取得正值又取得负值几何上表示由曲线、x轴及二直线x=a、x=b所围成平面图形位于x轴上方部分的面积减去x轴下方部分的面积定积分的性质：性质一、函数和（差）的定积分等于他们的定积分的和（差），即性质二、被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即（k是常数）性质三、如果将区间分成两部分和，那么、性质四、如果在上，那么性质五、如果在上，那么性质六、如果在上，那么性质七、设M及m，分