高数测试题(多元函数微分)含答案

1 高数高数测试题测试题六六（多元函数微分部分）（多元函数微分部分）答案答案 一选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1、 0 0 3 lim 1 1 x y xy xy + =（ B ） A 3 B 6 C 不存在 D 2、 函 数( , )zf x y=在点 00 (,)xy的两个偏导数都存在的函数在该点可微的 （ A ） A 必要非充分条件 B 充分非必要条件 C 充要条件 D 无关条件 3、曲线 22 4 4 xy z y + = = 在点（2，4，5）处的切线与 x 轴正向所成的倾角是 （ C ） A 2 B 3 C 4 D 6 4、曲面3 z ezxy+=在点（2，1，0）处的切平面方程为（ C ） A 240 xy+= B 240 xyz+= C 240 xy+= 250 xy+= 5、 已知函数( , )()()( ) x y x y u x yxyxyt dt + =+， 其中函数具有 二阶导数，具有一阶导数，则必有（ B ） A 22 22 uu xy = B 22 22 uu xy = C 22 2 uu x yy = D 22 2 uu x yx = 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1、 函数 22 ln()1zyxyx=+的定义域为 22 ( , )0,1x y yxyx+ 2 2、 设( , )(1)arcsin x f x yxy y =+，则( ,1) x fx= 3、 由方程 1 222 coscoscos1xyz+=所确定的函数( , )zz x y=的全微分 dz= sin(2 )sin(2 ) sin(2 ) x dxy dy z + 4、 设( , )f x y在( , )a b处的偏导数存在， 则 0 (, )(, ) lim x f ax bf ax b x + = 2( , ) x fa b 5、 设函数 222 ( , , )1 61218 xyz u x y z = +，单位向量 1 1,1,1 3 n =，则 (1,2,3) u n = 3 3 三、解答题 1、 （8 分）设函数 22, cos ,sinzu vuv uxy vxy=，求, zz xy 解： 22 2 22 3333 (2)cos(2)sin 3cossin (cossin ) (2)(sin )(2) cos 2cossin (cossin )(sincos) zzuzv uvvyuuvy xuxv x xyyyy zzuzv uvvxyuuv xy yuyv y xyyyyxyy =+=+ = =+=+ = + 2、 （8 分）设函数 y zx=，sin ,cosxt yt=，求 dz dt 解： 1 1 cos2 cosln ( sin ) (sin )(tln(sin ) yy t dzz dxz dy yxtxxt dtx dty dt tcott + =+=+ = 3 3、 （8 分）设( )fx连续， 1 ()()zf xyyf xy x =+，求 2z x y 解： 2 2 1 ()()() 11 ()()()()() ()()() zy f xyfxyyfxy xxx z fxyfxyxyfxyfxyyfxy x yxx fxyy fxyfxy = + = + =+ 4、 （8 分）设函数( , )zz x y=由方程 z xyez=所确定，求 2z x y 解：令 ( , , ) z F x y zezxy=，则 22 23 1 1 1 (1) (1)(1) x z z y z z zz zz zz Fzy xFe F zx yFe z eye zexyey x yee = = = = = 5、 （8 分）设函数( , )zz x y=由方程(,)0 zz F xy yx +=确定，其中 F 具 有一阶连续偏导数，求dz 解一：利用隐函数的求导公式 令 ( , , )(,) zz G x y zF xy yx =+ 则 12 2 12 2 1212 , 1111 y x zz z z FF FF G Gzzy x xGyG FFFF yxyx + = = = = + 4 12 2 12 2 1212 1111 z z FF FF y x dzdxdy FFFF yxyx = + + 解二：利用全微分的形式不变性，对方程的两边同时取微分 12 122 22 ()()0 0 zz Fd xF d y yx ydzzdyxdzzdx FdxFF dyF yx += += 解出dz即可。 6、 （10 分）求内接于椭球面 222 222 1 xyz abc +=的最大体积的长方体 解：设长方体的长、宽、高分别为 2 ,2 ,2xyz，则内接长方体的体积为 8,0,0,0Vxyzxyz=，令函数 222 222 2 2 2 222 222 ( , , )(1) 2 0 2 0 2 0 1 x y z xyz F x y zxyz abc x Fyz a y Fxz b z Fxy c xyz abc =+ =+= =+= =+= += 解得, 333 abc xxx= 因为题目本身存在最大值，并在区间内部达到，且此点又是惟一的驻点， 即为所求。最大体积为 max 8 3 9 Vabc=。 7 、 （ 10 分 ） 设( , )zf x y=在 点( , )a a的 某 个 邻 域 内 可 微 ， 已知 5 ( , )( , ) ( , ), a aa a ff f a aabc xy = ，记( ) ,( ,( , )xf x f x f x x= （1）计算 ( )a （2）计算 2( ) x a d x dx = 解 ：（1）( ) ,( ,( , )( ,( , )( , )af a f a f a af a f a af a aa= （2） 22 ( )2 ( )( ),( )2 ( )( ) x a dd xxxxaa dxdx = = 因为 ( ) ,( ,( , )xf x f x f x x=，令 ( , ),( , ),uf x v vf x yyx= () () dffuffffv dx xuxxuxv x ffffffy xuxvxyx =+=+ =+ 当xa=时，,( , ),( , ) x ax a ya vf a aa uf a aa =